Помогите посчитать сумму (среднеквадратичное)

[Kafari]

Здравствуйте!
Помогите мне, пожалуйста, с одной задачей, просто я уже совсем не знаю, как это делать. Нужно посчитать дисперсию для биномиального распределения:
$\sigma^2 = (m - <m>)^2 = <m^2> - <m>^2$
Я знаю - посчитала уже - что $<m> = np$, где $p$ - вероятность успеха одного микросостояния, $n$ - общее количество испытаний. Нужно найти $<m^2>$. Делаю так:

$$\sum\limits_{m=0}^{n} \frac {m^2 *n!}{m! (n-m)!} p^m (1-p)^{n-m} = $$ $$ = \sum\limits_{m=0}^{n-1} \frac {m *n *p *(n-1)!}{(m-1)! ((n-1)-(m-1))!} p^{m-1} (1-p)^{(n-1)-(m-1)} = $$ $$ = n p \sum\limits_{m=0}^{n-1} \frac {m *(n-1)!}{(m-1)! ((n-1)-(m-1))!} p^{m-1} (1-p)^{(n-1)-(m-1)}$$

А что делать дальше, я не знаю. В самом итоге должно получиться $<m^2> - <m>^2 = np(1-p)$. Помогите, пожалуйста!
Да, и кажется, я что-то путаю с расстановкой пределов суммирования...

[ИСН]

Зачем Вы конструируете в двух местах вот эту штуку: (n-1)-(m-1) ? Наверное, в этом есть какой-то смысл? Какой?

-- Ср, 2010-06-09, 18:08 --

Нашёл цитату в тему:

Цитата:

Этот эффект хорошо знаком археологам: так какой-нибудь трипольский гончар рисует в подражание своим учителям завиток на боку сосуда, не догадываясь о том, что всего триста лет назад именно на этом месте крепилась ручка.

[Kafari]

Ну не знаю... Может, там как-нибудь к биному сведется... Вот, например, просто среднее я считаю так:

$$<m> = \sum\limits_{m=0}^{n} \frac {m *n!}{m! (n-m)!} p^m (1-p)^{n-m} = $$

$$= \sum\limits_{m=1}^{n} \frac {n *p *(n-1)!}{(m-1)! ((n-1)-(m-1))!} p^{m-1} (1-p)^{(n-1)-(m-1)} = $$

$$= n p \sum\limits_{m=1}^{n} \frac {(n-1)!}{(m-1)! ((n-1)-(m-1))!} p^{m-1} (1-p)^{(n-1)-(m-1)} = $$

$$= n p (p + (1-p))^{n-1} = np$$

То есть эта сумма оказывается биномом Ньютона.

Может, тут тоже как-то так можно?

[ewert]

Можно посчитать все и всяко, и даже через биномиальные коэффициенты тоже можно, если уж начальство требует (надо просто поиграться с заменами переменных суммирования). Но вообще-то наиболее грамотный способ вычисления той дисперсии -- это ссылка на то, что при суммировании нескольких независимых случайных величин их дисперсии также складываются.

----------------------------------------------------------
Ну хорошо. Раз уж Вы в курсе, как модно считать для именно этого распределения матожидание -- посчитайте тогда уж заодно и матожидание $M[X(X-1)]$. А потом покомбинируйте это с просто матожиданием и со стандартной теоремой насчет дисперсии.

[Kafari]

ewert
Cпасибо большое за подсказку, теперь все получилось!