последовательность финитных ступенчатых функций

[antondm]

Есть в 3ем томе кудрявцева такое упражнение.
Доказать, что всякая непрерывная на отрезке функция является пределом равномерно сходящейся последовательности финитных ступенчатых функций, носители которых принадлежат тому же отрезку.
Как я захожу:
Пусть функция $y=f(x)$ непрерывна на отрезке $\[a,b\]$. Разобьем отрезок $\tau=\{x^\tau_i\}^{i=i_\tau}_{i=0}$ , где $x_0=a,x_{i_\tau}=b$. И пусть $|\tau|$-мелкость разбиения.
Теперь составим ступенчатую финитную функцию на основе этого разбиения.
$\varphi_{\tau}(x)=\sum\limits^{i=i_\tau}_{i=0}\lambda_i\chi_i(x)=\sum\limits^{i=i_\tau}_{i=0}f(x_i)\chi_i(x)$, где

$$\chi_i(x)= \begin{cases} 1,&\mbox{,если $x\in[x_i,x_{i+1})$}\\ 0,&\mbox{,если $x\notin[x_i,x_{i+1})$}\\ \end{cases} $$

$$ \lambda_i=f(x_i) $$

Теперь осталось лишь доказать, что

$$f(x)=\lim_{|\tau|\to 0}\varphi_\tau(x)$$

Такой подход правильный?

[Padawan]

Правильный