Нумерация корней

[Sasha2]

Предположим у нас имеется обычный многочлен степени $n$ (надо полем комплексных чисел).
Вот хотелось бы знать, есть ли какой-нибудь осмысленный способ нумерации его $n$ корней?

[Leox]

Sasha2 в сообщении #328852 писал(а):

Предположим у нас имеется обычный многочлен степени $n$ (над полем комплексных чисел).
Вот хотелось бы знать, есть ли какой-нибудь осмысленный способ нумерации его $n$ корней?

не совсем понятно, чем не устраивает вполне осмысленная нумерация по возрастанию?

[AKM]

Я в корнях не особо, но --- по возрастанию чего? $\Re(x_i)$? $\Im(x_i)$? $|x_i|$?

Ой, какие страшные буковки образовались, когда я попробовал \Re и \Im !

[Mathusic]

AKM в сообщении #328863 писал(а):

Я в корнях не особо, но --- по возрастанию чего? $\Re(x_i)$? $\Im(x_i)$? $|x_i|$?
Ой, какие страшные буковки образовались, когда я попробовал \Re и \Im !

Можно и по $\operatorname{Re}z, \operatorname{Im}z$, а можно ещё лексикографически, чтобы корней с одинаковым номером было меньше.

[Sasha2]

Нет тут не в возрастании дело. Представьте, что мы чуть-чуть поменяли коэффициенты этого уравнения. Тогда и корни наверно тоже чуть чуть поменяются (в определенном смысле, но не факт, что сохранят тот же порядок, особенно если они очень близки друг к другу). Ну вот и хотелось бы, чтобы осмысленно говорить О ДВУХ СООТВЕТСТВЕННЫХ КОРНЯХ, а не просто упорядочивать их по возрастанию.

[Mathusic]

Не понятно, чего вы хотите. Сформулируйте чётко. По существу Вам уже ответили.

[ИСН]

Чтобы говорить осмысленно, говорите о ближайшем корне. Для того случая такой конкретизации хватит, а для общего - один чёрт, не хватит никакой.

[Sasha2]

Ну я не спорю, что может четкости и не хватает в постановке задачи.
Но в целом все сформулировано джостаточно корректно.

-- Пн июн 07, 2010 23:35:48 --

Наверно вопрос имеет отношение к тому, можно ли ввести метрику на множестве, элементами которого являются неупорядоченные совокупности n вещественных или комплексных чисел. Хотя может и ошибаюсь.

[Padawan]

В теории целых функций корни обычно нумеруют в порядке возрастания их абсолютных величин. К тому же каждый корень повторяют столько раз, какова его кратность. А так, конечно, от задачи надо отталкиваться.

[Sasha2]

Ну задача. Представьте веревечку (растяжимую и бесконечную). Тянут ее так, что как была она полиномом n-й степени, так и остается. Вот ее чуть чуть потянули и корни куда-то переехали. Вот и хочется знать в какой новый корень переехал старый.

[venco]

Так ведь плавно менять полином можно разными способами, и в зависимости от пути соответствие корней может быть разным.

-- Пн июн 07, 2010 16:40:25 --

Например, в полиноме $x^2=e^{ai}$, меняя параметер $a$ от нуля до $2\pi$, придём к тому же полиному, но с поменявшимися корнями.

[Padawan]

А при чем тут верёвочка, если полином над полем комплексных чисел?

[Mathusic]

Тогда двумерный кусок резины.

[Профессор Снэйп]

Задавайте любой линейный порядок на $\mathbb{C}$ и нумеруйте корни по возрастанию согласно этому порядку.

-- Вт июн 08, 2010 15:26:23 --

Например, такой, как предложил Padawan:

$$ \Big(z_1 <_{\mathrm{Padawan}} z_2\Big) \Leftrightarrow \Big( \big(|z_1| < |z_2|\big) \vee \big((|z_1| = |z_2|) \mathop{\&} (\mathrm{arg}(z_1) < \mathrm{arg}(z_2))\big)\Big) $$

[PAV]

Этот порядок не годится, поскольку малое изменение коэффициентов может привести к его перемене. Подходит упорядоченность только по модулю, вещественной части или мнимой, но тогда надо смириться с тем, что имеются несравнимые значения.