Решение зачачи с помощью полиномиальной теоремы

[Alex1010]

Помогите, пожалуйста, решить такую задачу:
Вычислить $(4x+3y+2z+t)^2$.
Мне сказали, что она решается через полиномиальную теорему, но я никак не могу найти понятного её объяснения.
С чего начать?

[Alex1010]

Нашёл формулу.
$\sum_{r_1, r_2… r_k \ge0}^{r_1+ r_2+r_k=n}\frac{n!}{r_1!*r_2!*r_k!}*a_1^{r_1}*a_2^{r_2}*a_3^{r_k}$
Но легче не стало.
Я правильно понял, что количество слагаемых $\frac{n!}{r_1!*r_2!*r_k!}*a_1^{r_1}*a_2^{r_2}*a_3^{r_k}$ будер равно количеству комбинаций целых чисел r, которые в сумме дают n?

[meduza]

Напишите все комбинации $a_1^{r_1} a_2^{r_2} a_3^{r_3}$, у которых (неотрицательные) показатели в сумме дают $n$. Напишите перед каждым соответсвующий полиномиальный коэффициент и сложите.

Для тренировки можете сначала рассмотреть простой частный случай -- бином Ньютона: $(a+b)^n=C_n^0\cdot a^n b^0 + C_n^1\cdot a^{n-1} b^1 + \dots + C_n^n\cdot a^0 b^{n}$.

[Mathusic]

Alex1010 в сообщении #328541 писал(а):

Вычислить $(4x+3y+2z+t)^2$.
С чего начать?

Начать с простого случая полиномиальной формулы: $(a_1+a_2+\dots+a_n)^2=(a_1^2+\cdots+a_n^2)+\sum_{i\not=j}(2a_ia_j).$

[Alex1010]

А что делать с коэффициентами начального выражения?

[Mathusic]

$4x=a_1, 3y=a_2$ и так далее.

[Alex1010]

Получилось 23 слагаемых, это нормально? Или должно быть меньше?

[Mathusic]

Я, наверно, не совсем понятно записал. В $\sum_{i\not=j}(2a_ia_j)$ не должно быть одинаковых слагаемых. Т.е. $2a_1a_3$ и $2a_3a_1$ одно и то же. Корректно будет записать $\sum_{i>j}(2a_ia_j)$.

[meduza]

Alex1010 в сообщении #328703 писал(а):

Или должно быть меньше?

Меньше. Ну переберите все комбинации, чтобы суммарная степень была $2$; для $(a+b+c+d)^2$: $a^2, b^2, c^2, d^2, ab, ba, ac, ca, \ldots$, т. е. всего $4\cdot 4=16$ вариантов.

[Mathusic]

Ну да, $n^2$, если не приводить подобные и $\frac{n(n+1)}{2}$, если по формуле $(a_1+a_2+\dots+a_n)^2=(a_1^2+\cdots+a_n^2)+\sum_{i>j}(2a_ia_j).$

[Leox]

Alex1010 в сообщении #328541 писал(а):

Помогите, пожалуйста, решить такую задачу:
Вычислить $(4x+3y+2z+t)^2$.
Мне сказали, что она решается через полиномиальную теорему, но я никак не могу найти понятного её объяснения.
С чего начать?

а кто сказал? не слушайте его, сделайте попроще, например
$(4x+3y+2z+t)^2= (4x+3y)^2+2(4x+3y)(2z+t)+(2z+t)^2.$
упощаете и получаете то что нужно.

[AD]

В конце концов, перемножьте два многочлена вручную.
Авось и теорему поймёте.

[ИСН]

Стесняюсь спросить: вся эта хрень с факториалами была вместо того, чтобы руками раскрыть две чёртовы скобки?

[Alex1010]

AD в сообщении #328874 писал(а):

В конце концов, перемножьте два многочлена вручную.
Авось и теорему поймёте.

Перемножил, уже на пути к пониманию.
По формуле получилось следующее:
$2(4x\cdot3y)+2(2z\cdot t)+2(4x\cdot2z)+2(3y\cdot t)+2(4x\cdot t)+2(3y\cdot2z) + (4x)^2+(3y)^2+(2z)^2+t^2 =24xy + 4zt + 16xz + 6yt + 8xt + 12 yz + 16x^2+9y^2+4z^2+t^2$
Правильно?

[meduza]

Alex1010
Да