Найти асимптотику остатка интеграла с точностью до O(1/n^3)

[Sonic86]

Интеграл

$$\int\limits_{n}^{+ \infty} \frac{dx}{x^2 \ln^2 x}$$

оценить с точностью до $O(\frac{1}{n^3})$.
Используя интегрирование по частям, я получил асимптотический ряд вида $\frac{1}{n^2}\sum\limits_{r \geq 0} \frac{a_r}{\ln ^r n}$. И не верю своим глазам: я или ошибся, или интеграл нельзя оценить с точностью до $O(\frac{1}{n^3})$ А как же жить тогда? Получается, если я например задачу из АТЧ решаю, то просто асимптотический анализ может оказаться бесполезным? Надеюсь, я все-таки ошибся...

[Полосин]

$\int\limits_n^{+\infty}\dfrac{dx}{x^2\ln^2x}=\dfrac1{n\ln^2n}\int\limits_1^{+\infty}\left(1+\dfrac{\ln u}{\ln n}\right)^{-2}\dfrac{du}{u^2}=\dfrac1{n\ln^2n}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{a_k}{\ln^kn}$,
$a_k=(-1)^k(k+1)\int\limits_1^{+\infty}\dfrac{\ln^ku}{u^2}du=(-1)^k(k+1)\Gamma(k+1)=(-1)^k(k+1)!$ (разложение асимптотическое).

[Sonic86]

Полосин, спасибо, но я ведь правильно понял, что с точностью до $O(\frac{1}{n^3})$ нельзя найти?

[Полосин]

Да. Непонятно, откуда взялась третья степень.

[Sonic86]

Полосин писал(а):

Непонятно, откуда взялась третья степень.

В данном случае от фонаря. Просто хотел одну сумму найти с точностью до $O(\frac{1}{n^3})$, а сумма у меня оказалась $\sum\limits_{k \leq n} \frac{1}{k^2 \ln ^2 k}$. Вот значит не получится.