Масса тела

[integral2009]

Спасибо)))

-- Чт май 27, 2010 21:35:30 --

А если такая задача, то к каким координатам лучше переходить - к цилиндричеким или сферическим?)
Как это можно определить вообще?
Тело $V$ задано ограничивающими его поверхностями. $\mu$ - плотность. Найти массу тела.

$\left \{ \begin {array}{I} x^2+y^2=4z^2/25\\ x^2+y^2=2z/5\\ x=0 ( x \ge 0)\\ y=0 (y \ge 0)\\ \end{array} \right$

$\mu=28xz$

[Cave]

За вас слева уже поставили $x^2 + y^2$, так что ответ напрашивается.
Если не видно, перейдите к обеим, посмотрите на полученный интеграл и выберете тот, который вам приглянулся. Немного тренировки, и вы научитесь определять быстрее.

[vvvv]

Cave в сообщении #323489 писал(а):

Нет, цилиндрическая система координат - это правильная догадка. Рисунок правильный.
Откуда вообще берётся $2z$? Из уравнения $x^2 + y^2 = 2z$. Разве в левой части стоит $r$, и оно будет меняться до $2z$?

Рисунок не правильній. Нужно дорисовать цилиндр, а также x>=0, Y>=0

[vvvv]

Картинка должна быть такой

[integral2009]

о!!! Спасибо, ясно!!!! Очень красиво! А в какой программе вы так рисуете?)))

[ewert]

vvvv в сообщении #324991 писал(а):

Картинка должна быть такой

Увы, не должна. Одно из неравенств потеряно и ещё одно -- перепутано.

(Это по последней задачке; а по предыдущей -- путаницы нет, есть только потеря. Впрочем, самая первая формулировка всё равно некорректна -- там ещё одного ограничения на $z$ не хватало, и все его тщательно домысливали.)

[integral2009]

А во втором примере

$\left \{ \begin {array}{I} x^2+y^2=4z^2/25\\ x^2+y^2=2z/5\\ x=0 ( x \ge 0)\\ y=0 (y \ge 0)\\ \end{array} \right$

$\mu=28xz$

У меня проекции на плоскости получились такими


А в объеме толком нарисовать не получается((((

Поможете?

И еще, правильно ли составлен интеграл (его значение вычислено точно правильно, проверено!), если перейти к цилиндрическим координатам

$$m=28\int_0^{\pi/2}d\phi \int\limits_0^1 d \rho \int\limits_{5\rho^2/2}^{5\rho/2}\rho^2\cdot z\cdot \cos \phi \cdot dz=7/2$$

(Оффтоп)

Вот где проверено
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate[28*rho^2+cos+phi,+{phi,+0,+pi/2},+{rho,+0,+1},{z,++[5*rho^2/2]+,+[5*rho/2]}]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #328273 писал(а):

Впрочем, самая первая формулировка всё равно некорректна -- там ещё одного ограничения на $z$ не хватало, и все его тщательно домысливали.)

По-моему из
$\left \{ \begin {array}{I} x^2+y^2=2z\\ x \ge 0\\ y \ge 0\\ \end{array} \right$
следует, что $z \ge 0$
Да ewert прав -- осью симметрии параболоида должна быть ось $z$

[vvvv]

Картинка будет такая


-- Вс июн 06, 2010 18:41:09 --

ewert в сообщении #328273 писал(а):

vvvv в сообщении #324991 писал(а):

Картинка должна быть такой

Увы, не должна. Одно из неравенств потеряно и ещё одно -- перепутано.
Если условие задачи остается таким, каким оно есть в настоящий момент, то картинка верна

[ewert]

vvvv в сообщении #328349 писал(а):

, то картинка верна

Это последнее картинко, что ли?... -- Ну может она и верна, но совершенно невнятна (в отличие от предыдущей, кстати, которая была пусть и неверна, но зато понятна).

(Вы оси крайне неудачно расположили)

-- Вс июн 06, 2010 19:06:08 --

integral2009 в сообщении #328292 писал(а):

По-моему из
$\left \{ \begin {array}{I} x^2+y^2=2z\\ x \ge 0\\ y \ge 0\\ \end{array} \right$
следует, что $z \ge 0$

Никак не следует. И ось симметрии тут совершенно не при чем. Впрочем, я и не скрывал, что с моей стороны это была всего лишь придирка, раз уж всем ежам все понятно.

[vvvv]

ewert, Вы хотя бы в Paint`е нарисовали правильно, а то -правильно, то не правильно.....

[ewert]

(Оффтоп)

vvvv в сообщении #328368 писал(а):

ewert, Вы хотя бы в Paint`е нарисовали правильно, а то -правильно, то не правильно.....

Не понял проблемы. Первое картинко было красиво, но неправильно. Второе -- вроде как и правильно, но совершенно некрасиво (т.е. из него ничего не увидать, если только заранее не знаешь решения). В чем вопрос-то?...

[integral2009]

Спасибо вам! И все-таки - правильно ли составлен интеграл для этой задачи?

$\left \{ \begin {array}{I} x^2+y^2=4z^2/25\\ x^2+y^2=2z/5\\ x=0 ( x \ge 0)\\ y=0 (y \ge 0)\\ \end{array} \right$

$\mu=28xz$

$m=?$

$$m=28\int_0^{\pi/2}d\phi \int\limits_0^1 d \rho \int\limits_{5\rho^2/2}^{5\rho/2}\rho^2\cdot z\cdot \cos \phi \cdot dz$$

[ewert]

Сойдет

[vvvv]

Вот что выдал Маткад:

Здесь рассказано, как набирать формулы.

[integral2009]

ewert в сообщении #328407 писал(а):

Сойдет

СпасибО!

-- Вс июн 06, 2010 20:04:49 --

vvvv в сообщении #328415 писал(а):

Вот что выдал Маткад:

Здесь рассказано, как набирать формулы.

Это к тому, что я дроби пишу некорректно?)