Доказательство леммы Архимеда (по индукции)

[maxmatem]

Вот решил доказать лемму Архимеда, методом матем.индукции. Я умею и без неё доказывать, но решил попробывать и вот , что вышло.
Лемма.
$\[ \forall (a,b) \in \mathbb{N}\,\exists c \in \mathbb{N}\,|\,ac > b \] $
Доказательство.
Рассмотрим два множества,а именно $\[ M_1 = \{ a \in \mathbb{N}|\exists c \in \mathbb{N}\,:ac > b\} \] $ и $\[ M_2 = \{ 1\} \]$
обозначим за $\[ M = M_1 \cup M_2 \] $
докажем что для $M$ выполнена аксиома индукции.
1.
Докажем что $\[1 \in M\]$. но $\[1 \in M_2 \Rightarrow 1 \in M\] $
2.
Допустим , что $\[a \in M\]$ т.е выполнено $\[\exists c \in \mathbb{N}\,:ac > b\] $
3.
Докажем, что$ \[a + 1 \in M\]$, т.е $\[\exists c \in \mathbb{N}\,:\left( {a + 1} \right)c > b\]$
итак $\[ \begin{gathered} \left( {a + 1} \right)c = ac + a > \underbrace {ac > b}_{{\text{induction hypothesis}}} \hfill \\ \left( {a + 1} \right)c > b \hfill \\ \end{gathered} \]$
а значит $\[ M = \mathbb{N} \]$

[maxmatem]

я там в третьем пункте ошибся должно быть так $\[ (a + 1)c = ac + c > ac > b \]$

[maxmatem]

может хоть кто-нибудь глянет на доказательство?

[Xaositect]

Она же для действительных чисел формулируется? Или я не про то думаю?

maxmatem в сообщении #327828 писал(а):

Вот решил доказать лемму Архимеда, методом матем.индукции. Я умею и без неё доказывать, но решил попробывать и вот , что вышло.
Лемма.
$\[ \forall (a,b) \in \mathbb{N}\,\exists c \in \mathbb{N}\,|\,ac > b \] $
Доказательство.
Рассмотрим два множества,а именно $\[ M_1 = \{ a \in \mathbb{N}|\exists c \in \mathbb{N}\,:ac > b\} \] $ и $\[ M_2 = \{ 1\} \]$
обозначим за $\[ M = M_1 \cup M_2 \] $
докажем что для $M$ выполнена аксиома индукции.
1.
Докажем что $\[1 \in M\]$. но $\[1 \in M_2 \Rightarrow 1 \in M\] $

Цитата:

2.
Допустим , что $\[a \in M\]$ т.е выполнено $\[\exists c \in \mathbb{N}\,:ac > b\] $

Неверно, еще надо рассмотреть случай $a=1$.

Цитата:

3.
Докажем, что$ \[a + 1 \in M\]$, т.е $\[\exists c \in \mathbb{N}\,:\left( {a + 1} \right)c > b\]$
итак $\[ \begin{gathered} \left( {a + 1} \right)c = ac + a > \underbrace {ac > b}_{{\text{induction hypothesis}}} \hfill \\ \left( {a + 1} \right)c > b \hfill \\ \end{gathered} \]$
а значит $\[ M = \mathbb{N} \]$

Переход для случая $a\in M_1$ правильный, случай $a=1$ не рассмотрен.

Вообще эта отдельная единица не нужна. $1\in M_1$, потому что $1\cdot (b+1) > b$.
И вообще, эта лемма, что, доказывается раньше того, что $ab\geqslant b$? Если это использовать, то $a(b+1)\geqslant b+1 > b$

[maxmatem]

это из предмета "Числовые системы" , эта теорема как раз есть очередное свойство неравенств для натуральных чисел. а зачем в пункте 2 рассматривать $a=1$?

[Xaositect]

Так.
Принцип индукции - если $1\in M$ и для любого $a\in M$ верно $a + 1\in M$, то $M$ содержит все натуральные числа.
На втором шаге предполагается $a\in M$. По определению $M$ это значит, что или $(\exists c) ac >b$, или $a=1$. И для обоих случаев надо доказать $a+1 \in M$. Для первого Вы доказываете, а для второго нет.

[maxmatem]

Понял, спасибо

[Профессор Снэйп]

А почему просто не взять $c = b+1$? У Вас же $a \geqslant 1$.

[maxmatem]

Да можно! как раз именно так я и умею доказывать. Ну решил попробовать немного по-другому по индукции(так как большинство теорем про натуральные числа в данном курсе доказывались с помощью аксиомы индукции), и вот что получилось.

[Профессор Снэйп]

А... Ну, тогда в добрый путь. Докажите, например, что каждое натуральное число либо делится на $2$, либо не делится