Задача Штурма-Лиувилля,Краевая задача уравнения диффузии

[QuasiRus]

Помогите разобраться,требуется поставить краевую задачу для уравнения диффузии в трубке,левый конец которой изолирован,на правом поддерживается заданная концентрация диффузанта.
Я ставлю задачу так:
$U_t-$a^2U_{xx}=0
$U_x$(t,0)=0
$U(t,l)$=\mu (t) - заданная концентрация диффузанта
Но разделяя переменные и подставляя граничные условия,не могу найти $\lambda:
$U(t,x)=$T(t)$X(x) ; \frac {T'(t)}{a^2T(t)}=\frac {X''(x)}{X(x)}=-$\lambda^2
X''(x)+$\lambda^2X(x)=0
X(x)=A cos $\lambda x+B sin $\lambda x
X'(x)=-$\lambda A sin $\lambda x + $\lambda B cos $\lambda x; X(0)=0 ;B=0
X_n(x)=A_n cos $\lambda x
T'(t)+$a^2 $\lambda^2T(t)=0 ; T(t)=C_n e ^{- a^2 \lambda^2 t}$
U_n(t,x)=D_n cos $\lambda x e ^{- a^2 \lambda^2 t}$
$x=$l : $\sum\limits_{i=1}^\infty D_n cos $\lambda x e ^{- a^2 \lambda^2 t}$=\mu (t)
и здесь наступает полный ступор. понимаю,что делаю не так,но не могу понять,в каком направлении "копать". Можно ли вообще так ставить краевую задачу или должны быть иные условия? Буду крайне благодарен за помощь.

[ewert]

QuasiRus в сообщении #328076 писал(а):

и здесь наступает полный ступор.

Правильно наступает. Ибо метод "разделения переменных" (ненавижу этот термин и вообще эту манеру изложения -- шаманство какое-то, хотя на самом деле это всего лишь разложение в ряд Фурье по собственным функциям, штука вполне очевидная и прозрачная) -- так вот, этот метод работает только для задач с однородными граничными условиями.

Ну так и сведите задачу к таковой. Для этого достаточно просто вычесть из искомой функции какую-либо (неважно какую именно), удовлетворяющую только граничным условиям. Она подбирается очевидным образом, как пропорциональная иксу. Правда, при этом уравнение диффузии становится неоднородным, но это для разложения по собственным функциям не помеха (а вот в варианте "разделения переменных" того же метода -- головная боль, опять заклинания, заклинания...)

[QuasiRus]

Цитата:

Для этого достаточно просто вычесть из искомой функции какую-либо (неважно какую именно), удовлетворяющую только граничным условиям. Она подбирается очевидным образом, как пропорциональная иксу.

меня тут почему-то вводило в ступор граничное условие на левом конце...спасибо!

и такой,быть может,глупый вопрос "вдогонку" - будут ли в этой задаче какие-то начальные условия? понятно,что нулевыми они быть не должны,но не могу понять, как их задать ,кроме как в общем виде какой-либо функции от икс.

[ewert]

QuasiRus в сообщении #328090 писал(а):

будут ли в этой задаче какие-то начальные условия?

будут, будут, конечно (я даже и не обратил внимания на их отсутствие). Как им и не быть-то, без них задача -- откровенно не поставлена.

[QuasiRus]

ну я имею в виду кроме как в виде $U(0,x)=\psi(x) мы их не можем задать для диффузии? в конкретно этой задаче

[ewert]

что значит "не можем" -- мы просто обязаны задать это условие в таком виде. И даже независимо от диффузии или там не диффузии.

[QuasiRus]

ewert
я Вас понял,большое спасибо!