Прямая, проходящая через 2-е точки

[AKM]

Ну, может нам удалось в итоге автора этому научить? Витиевато, конечно, получилось, но весело...

[gris]

AKM писал(а):

gris!
Vous êtes où???

Уважаемый AKM!

But four you on until дверь пис.

PS на всякий случай расшифрую, чтобы не подуумали чего
But = но
four=4=чь
you=ю
on=на
until=до
дверь=door=дор
пис=peace=мир.

[shur]

Ясно откуда определитель. Вот он откуда) Я это сейчас сам придумал, но не думаю, что открыл Америку)

Пусть прямая $y=kx+b$ проходит через две несовпадающие точки $(x_1,y_1)$ ; $(x_2,y_2)$

В этом случае уравнение прямой должно удовлетворять системе

$\[ \left\{ \begin{gathered} y_1=kx_1+b \hfill \\ y_1=kx_1+b \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$

Решим эту систему относительно $k$ и $b$ методом Крамера.

$\Delta=\begin{vmatrix} x_1 & 1\\ x_2 & 1\end{vmatrix}=x_1-x_2 \ne 0$ (точки не совпадают по условию)

$\Delta_k=\begin{vmatrix} y_1 & 1\\ y_2 & 1\end{vmatrix}=y_1-y_2$

$\Delta_b=\begin{vmatrix} x_1 & y_1\\ x_2 & y_2\end{vmatrix}=x_1y_2-x_2y_1$

$k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$

$b=\dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{x_1-x_2}$

$$y=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\cdot x+\dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{x_1-x_2}=\dfrac{(y_1-y_2)x+x_1y_2-x_2y_1}{x_1-x_2}$$

[AKM]

shur, (и топикстартер, если Вы ещё заглядываете сюда).
Здесь, на мой взгляд не должно быть определителей, думаний, запомненных формул. Ниже процитированное ---

maxmatem в сообщении #327786 писал(а):

$ \frac{{x - x_1 }} {{x_2 - x_1 }} = \frac{{y - y_1 }} {{y_2 - y_1 }} $

или в другом варианте ---

AKM в сообщении #327787 писал(а):

... смог бы набросать только что-то вроде $\dfrac{y-y_1}{x-x_1}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

как бы естественно пишется не из памяти, а просто глядя на точки и прямую. Здесь сказано что-то вроде "для любой пары точек $(x,y),\;(x_1,y_1)$ наклон прямой такой же, как и для пары $(x_2,y_2),\;(x_1,y_1)$". Здесь нет места думанию, вспоминанию-упрощению каких-то формул. По-моему, такая технология называется WYSIWYG --- расшифровывается как-то типа "смотришь на прямую и пишешь формулку".

[shur]

AKM в сообщении #328007 писал(а):

shur, (и топикстартер, если Вы ещё заглядываете сюда).
Здесь нет места думанию, вспоминанию-упрощению каких-то формул. По-моему, такая технология называется WYSIWYG --- расшифровывается как-то типа "смотришь на прямую и пишешь формулку".

Да, согласен!!!!!!!

Через определители я написал в ответ на это сообщение!

Pixar в сообщении #327793 писал(а):

. Сейчас чёт я решил составить систему и выразил коэффициенты k и b. Потом подставил их в общее уравнение прямой и получил то, что получил =). Теперь чёт туплю, по любому должно как-то упрощаться.
Кстати, мне тут что-то отдалённо напоминает детерминант. Может там векторное произведение замешено? Я просто не знаю, как интерпретировать это уравнение...

-- Сб июн 05, 2010 18:12:47 --

Так можно записать, если поизвращаться)))

$$y=\dfrac{\begin{vmatrix} y_1 & y_2\\ 1 & 1\end{vmatrix}x+\begin{vmatrix} x_1 & x_2\\ y_1 & y_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_1 & x_2\\ 1 & 1\end{vmatrix}}$$

[Pixar]

Спасибо за разъяснения.

Теперь сможет кто-нибудь пояснить вот эту формулу:

$y = ty_1 + (1-t)y_2$
$t = \frac{x_2 - x}{x_2 - x_1}$


PS: я ещё через параметрическое уравнение вывел нужную формулу :)
$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{r_0} + t\overrightarrow{l}$

[AKM]

Pixar в сообщении #328100 писал(а):

$y = ty_1 + (1-t)y_2$
$t = \frac{x_2 - x}{x_2 - x_1}$

Типичная запись формул этого типа --- $y = w_1y_1 + w_2y_2$, где $w_1+w_2=1$.
Это типа взвешенное среднее (мои $w_1$, $w_2$ --- Ваши $t$ и $1-t$).
$w_1$, $w_2$ можно рассматривать как доли (весами они называются) $y_1$ и $y_2$ при усреднении. $w_{1,2}$ обычно выражаются в процентах.
В Советском Союзе это была типовая характеристика котлет --- доля мяса, доля хлеба (до сои тогда ещё не додумались).
Точка $P= w_1P_1 + w_2P_2=tP_1+(1-t)P_2$ --- как бы точка между $P_1$ и $P_2$, а эти коэффициенты определяют, насколько она близка к $P_1$ или $P_2$. Насколько одна из вовлечённых точек имеет больший вес (её влияние при усреднении).
При $t=0.5$ это будет реально средняя точка.

[Pixar]

Что-то немного прояснилось. Ладно, теперь задам вопрос прямо. Вот на википедии есть статья про билинейную интерполяцию, но там сразу даны формулы (хотя вроде пытались объяснить) : http://ru.wikipedia.org/w/index.php?tit ... F&stable=1

Я не понимаю, как они догадались, что для $f(R_1)$ надо было составить именно такую формулу. Почему четыре точки, а не три? Почему делается в два шага - сначала по X, а потом по Y? И почему в конце надо было это всё сложить? Откуда появилось умножение векторов с матрицей? Что значит интерполянт (определение вики мне не понятно)? Откуда он взялся? Всё, что там внизу осталось, мне также не понятно.

Как хорошо написали статью. Либо, учитывая то, что я не могу вычесть два одинаковых множителя, я также не могу что-то соединить в своём мозгу, хотя, скорее всего, ключ где-то рядом =)

[Circiter]

2Pixar

Цитата:

Что значит интерполянт

Это функция, похожая на данную, а в точках (узлах) интерполяции и вовсе с ней совпадающая.

Цитата:

Откуда появилось умножение векторов с матрицей?

См. определение умножения матрицы на вектор. Эксплуатируется похожесть формул для более краткой записи. :)

Цитата:

Я не понимаю, как они догадались...

См. там же, в вики, статью про линейную интерполяцию (обратите внимание на геометрическую интерпретацию).

[Pixar]

Circiter в сообщении #328165 писал(а):

См. там же, в вики, статью про линейную интерполяцию (обратите внимание на геометрическую интерпретацию).

Не очевидно. В линейной интерполяции задаётся простая функция, проходящая через 2-е точки, которая выше уже выведена. Но в билинейной интерполяции для $f(R_1)$ совсем не уравнение прямой, а доли, о которых написал AKM.
........

Блин!.. я попробовал задать параметрически прямую, проходящую через 2-е точки $Q_{11}$ и $Q_{21}$ и вот что у меня получилось:

$\overrightarrow{(x,y,f(x,y))} = \overrightarrow{(x_1, y_1, f(Q_{11}))} + t(\overrightarrow{(x_2, y_1, f(Q_{21})} - \overrightarrow{(x_1, y_1, f(Q_{11})})$

$ \left\{ \begin{array}{l} x = x_1 + t(x_2 - x_1),\\ y = y_1 + t(y_1 - y_1),\quad\text{\color{blue}автор, конечно, имел в виду $(y_2 - y_1)$}\\ f(x,y) = f(Q_{11}) + t(f(Q_{21}) - f(Q_{11})) \end{array} \right. $

Откуда:
$ \left\{ \begin{array}{l} t = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1},\\ y = y_1,\\ f(x,y) = f(Q_{11}) - tf(Q_{11}) + tf(Q_{21}), \end{array} \right. $

Я гений! Я молодец, пойду куплю себе пряник :)

ЗЫ: вопрос не закрыт, возможно я ещё где-нить застряну...

[Circiter]

Приятного аппетита!