Прямая, проходящая через 2-е точки

[Pixar]

Сейчас набросал на листочке формулу:

$y = \left(\frac{y_1}{x_1} - \frac{y_2 \cdot x_1 - y_1 \cdot x_2}{(x_1 - x_2) \cdot x_1}\right) \cdot x + \frac{y_2 \cdot x_1 - y_1 \cdot x_2}{x_1 - x_2}$

По-моему всё должно быть раз в 10 проще. Я что-то не сократил? =)

[AKM]

Ну, во-первых, не в 10 раз, а всего лишь в 2.75 раза
А что, что-то мешает повозиться с первой скобкой, там типа дроби реально упростить?

[maxmatem]

$\[ \begin{gathered} \frac{{x - x_1 }} {{x_2 - x_1 }} = \frac{{y - y_1 }} {{y_2 - y_1 }} \hfill \\ y = \frac{{xy_2 - xy_1 - x_1 y_2 + x_1 y_1 }} {{x_2 - x_1 }} + y_1 x_2 - y_1 x_1 \hfill \\ \end{gathered} \] $

[AKM]

Я в прямых не особо, и потому смог бы набросать только что-то вроде $\dfrac{y-y_1}{x-x_1}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. Соображения, приведшие Вас, Pixar, к столь сложным конструкциям, уловить не могу.

-- Пт июн 04, 2010 23:32:13 --

Блин, кажется уловил!
Там сложнейшая тригонометрИя! Искомый угловой коеффициент равен тангенсу угла, как если бы прямая проходила через начало координат минус... в общем, это трудно объяснить... Но приятно, --- какой я всё же умный!

[meduza]

(Оффтоп)

И хотя уже выше всё написали, пока я набирал, но всё же скажу, что наиболее просто все уравнения аналит. геометрии получаются из векторов. Тут нам нужны все такие точки $M(x,y)$, что вектор $\overrightarrow{M_1M}$ направлен по $\overrightarrow{M_1M_2}$ ($M_1$, $M_2$ -- Ваши точки), т. е. их координаты должны быть пропорциональны: $\dfrac{x-x_1}{y-y_1}=\dfrac{x_2-x_1}{y_2-y_1}$. Аналогично получаются уравнения в пространстве, уравнения плоскостей по разным исходным данным и всё, что угодно.

[Pixar]

Я раньше, когда вспоминал линейную интерполяцию, уравнение восстанавливал так:
$(\overrightarrow{p_2} - \overrightarrow{p_1}) \cdot \overrightarrow{v} = (x_2 - x_1)x + (y_2 - y_1)y = 0$
Это даже образно и наглядно =). Сейчас чёт я решил составить систему и выразил коэффициенты k и b. Потом подставил их в общее уравнение прямой и получил то, что получил =). Теперь чёт туплю, по любому должно как-то упрощаться.
Кстати, мне тут что-то отдалённо напоминает детерминант. Может там векторное произведение замешено? Я просто не знаю, как интерпретировать это уравнение...

[AKM]

Pixar в сообщении #327783 писал(а):

$\ldots\quad \left(\frac{y_1}{x_1} - \frac{y_2 \cdot x_1 - y_1 \cdot x_2}{(x_1 - x_2) \cdot x_1}\right)\quad\ldots $

То есть Вы реально не можете это упростить? При том, что вполне можете записать в $\TeX$e? А упростить не можете? Там, к общему знаменателю, подобные члены привести... А в $\TeX$e --- можете?

Вообще-то да, немного жалко упрощать: намёк на векторное произведение во втором числителе бесследно исчезнет.

[Pixar]

$\left(\frac{y_1 x_1 - y_1 x_2 - y_2 x_1 + y_1 x_2}{(x_1 - x_2)x_1}\right)x$
Вроде так.
ЗЫ: я вроде что-то кривое в прошлом посте написал -)

[AKM]

Pixar в сообщении #327801 писал(а):

$\left(\dfrac{y_1 x_1 \text{\color{magenta}\huge${{}- y_1 x_2}$} - y_2 x_1 \text{\color{magenta}\huge${{}+ y_1 x_2}$}}{(x_1 - x_2)x_1}\right)x$

Приношу извинения за искажение цитаты.

[Pixar]

AKM в сообщении #327807 писал(а):

Pixar в сообщении #327801 писал(а):

$\left(\dfrac{y_1 x_1 \text{\color{magenta}\huge${{}- y_1 x_2}$} - y_2 x_1 \text{\color{magenta}\huge${{}+ y_1 x_2}$}}{(x_1 - x_2)x_1}\right)x$

Приношу извинения за искажение цитаты.

Пойду спрыгну с балкона =)... пазор...
ЗЫ: спасибо большое за искажение цитаты :)

[AKM]

gris!
Vous êtes où???
Уболтайте парня не делать этого! У Вас получится!

(Оффтоп)

Такой роскошный дождяра хлещет, с подсветками и канонадами,
такая простая задачка фигурирует,
такая хорошая была пятница!

[maxmatem]

я наврал в своём сообщении, очень извиняюсь, решил в уме да допустил ошибку, должно быть так
$\[ y = \frac{{xy_2 - xy_1 - x_1 y_2 + y_1 x_2 }} {{x_2 - x_1 }} \] $

[Pixar]

maxmatem в сообщении #327818 писал(а):

А чем мой вариант всех не устроил?

Ну, я просто не увидел. Непонятно в чём дело, может из-за зрения =). Я заметил у меня в последнее время такое часто случается...

[AKM]

maxmatem в сообщении #327818 писал(а):

А чем мой вариант всех не устроил?

Лично меня сегодня всё устраивает. Все толкали свой вариант, автор --- свой, я ничего не толкал . В Вашем варианте мне бы всё же хотелось чего-то ещё. Типа

maxmatem в сообщении #327786 писал(а):

$\[ y = \frac{{xy_2 - xy_1 - x_1 y_2 + x_1 y_1 }} {{x_2 - x_1 }} + y_1 x_2 - y_1 x_1 \] $

$$\ldots =\underbrace{\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 }}_{\text{некое}\; k}x + \frac{- x_1 y_2 + x_1 y_1 }{{x_2 - x_1 }} + y_1 x_2 - y_1 x_1=\ldots.$$

Но неназойливо хотелось.

-- Сб июн 05, 2010 01:06:11 --

О нет, вижу --- какое страшное нарушение размерностей! Но Вы как бы уже чего-то исправили там...

gris, ça va, Вы свободны, вроде всё устаканилось.

[maxmatem]

лично мне непонятна вся закрутка, данного вопроса..так как когда надо уравнение прямой по двум точкам написать, то не будешь же вспоминать какую-то формулу, которая неплохо причёсана! воспользуешься
стандартом , что-то типа $\[ \frac{{x - x_1 }} {{x_2 - x_1 }} = \frac{{y - y_1 }} {{y_2 - y_1 }} \]$ и дело в шляпе