интеграл от собственной функции дифференциального оператора

[Agathis]

Пусть $\Omega\subset \mathhbb{R}^N$-конечная область с гладкой границей, а $\psi(x,\lambda)$ - нормированное решение уравнения $L\psi(x,\lambda)+\lambda\psi(x,\lambda)=0$, где L - самосопряженное расширение некоторого эллиптического дифференциального оператора с гладкими коэффициентами, $\lambda\in \sigma(L)$.
Задача в том, чтобы оценить скорость убывания по $\lambda$ интеграла от $\psi(x,\lambda)$ по множеству, образованному пересечением $\Omega$ с плоскостью $x_i=const$.

У меня есть следующее эвристическое сображение. Коэффициенты Фурье характеристической функции $\Omega$, то есть интегралы $\int\limits_\Omega \psi(x,\lambda)dx$ убывают при $\lambda\longrightarrow\infty$ ввиду осцилляции $\psi(x,\lambda)$. В случае же интеграла по плоскости одна из координат фиксирована, но собственные функции продолжают осциллировать по остальным координатам. Это наводит на мысль, что искомая оценка должна быть $O(\lambda^{-(N-1)/m})$, где m - степень оператора L.
Верны ли приведенные рассуждения, и если да, то как можно подступиться к их доказательству?
Заранее спасибо.

[shwedka]

Задача разумная, но поставлена слишком общо. Самосопряженных расширений слишком много, и они не контролируемы. Есть теоремы (А.М.Ильин, если не путаю, 60-70 годы), показывающие, что такое сс расширение может быть выбрано со сколь угодно патологическими свойствами, в том числе, и с непрерывным спектром, заполняющим всю ось.
Если же ограничиться приличными расширениями, порожденными классическими граничными условиями, то речь идет об асимптотической оценке коэффициентов Фурье относительно системы собственных функций распределения, сосредоточенного на гиперповерхности. Здесь, мне представляется, хватит теорем вложения Соболева и асимптотики собственных значений. Попробуйте!

[terminator-II]

Agathis в сообщении #327239 писал(а):

скорость убывания по $\lambda$ интеграла от $\psi(x,\lambda)$

этот интеграл является функцией одной переменной. В каком смысле понимается убывание?

Agathis в сообщении #327239 писал(а):

$O(\lambda^{-(N-1)/m})$

Легко проверить в случае куба и оператора Лапласа с нулевыми условиями на границе. И еще в каком пространстве нормированны собственные функции?

shwedka в сообщении #327782 писал(а):

то речь идет об асимптотической оценке коэффициентов Фурье относительно системы собственных функций распределения, сосредоточенного на гиперповерхности. Здесь, мне представляется, хватит теорем вложения Соболева и асимптотики собственных значений. Попробуйте!

Указанное распределение действует на функциях, которые можно сузить на гиперповерхность. Т.е. можно считать, что это распределение элемент пространства $(H^s(\Omega))'$ c $s>1/2$ по крайней мере. Но коэффициенты Фурье таких распределений вообще говоря, растут , а не убывают.

[Agathis]

Swedka, terminator-II, большое спасибо за ответы.

Swedka, я сейчас разрабатываю Ваш совет, напишу здесь результат, когда получу что-то определенное. На счет произвольности самосопряженного расширения - это уже доставило массу проблем. Возможно, придется ограничиться боле узким классом.

terminator-II,
1)интеграл является функцией $\lambda$, убывание понимается как минимальная степень $\lambda$, которой можно мажорировать $\int\limits_\Omega \psi(x,\lambda)dx$.
2)Решение нормировано в $L_2(\Omega)$

[terminator-II]

Есле говорить об операторе Лапласа с нулевыми гран. условиями в ограниченной области с гладкой границей, то

Agathis в сообщении #327239 писал(а):

Коэффициенты Фурье характеристической функции $\Omega$, то есть интегралы $\int\limits_\Omega \psi(x,\lambda)dx$ убывают при $\lambda\longrightarrow\infty$ ввиду осцилляции $\psi(x,\lambda)$

нет, не поэтому, а просто потому, что элементы ортонормированного базиса слабо сходятся к нулю в любом гильбертовом пространстве. Т.е. это не связано вообще со спецификой задачи.

Я попробовал оценить, скорость убывания интегралов
$\int_\Omega\psi_kdV$ где
$-\Delta\psi_k=\lambda_k\psi_k,\quad \psi_k(\partial\Omega)=0,\quad \lambda_k\to+\infty$.
Может это и для исходной задачи что-то подскажет.


Заметим, что $\int_\Omega\Delta udV=\int_{\partial \Omega}(\nabla u,n)dS$
Пусть теперь $u=-\Delta^{-1}\psi_k=\frac{1}{\lambda_k}\psi_k$
тогда $\int_\Omega\psi_kdV=-\int_{\partial \Omega}(\nabla\Delta^{-1}\psi_k,n)dS$
Далее

$$\Big|\int_{\partial \Omega}(\nabla\Delta^{-1}\psi_k,n)dS\Big|\le c\|T\nabla\Delta^{-1}\psi_k\|_{H^{\sigma}(\partial\Omega)}$$

В этой формуле $\sigma>0$ мало, а $T:H^{1/2+\sigma}(\Omega)\to H^{\sigma}(\partial\Omega)$ -- оператор следа.

Имеем

$$\|T\nabla\Delta^{-1}\psi_k\|_{H^{\sigma}(\partial\Omega)}\le c\|\Delta^{-1}\psi_k\|_{H^{3/2+\sigma}(\Omega)}\le c\|(-\Delta)^{-1/4+\sigma/2}\psi_k\|_{L^2(\Omega)}\le\frac{c}{\lambda_k^{1/4-\sigma/2}}\|\psi_k\|_{L^2(\Omega)}$$

Окончательно:

$$\int_\Omega\psi_kdV=O\Big(\frac{1}{\lambda_k^{\tau}}\Big)$$

где $\tau$ любое число меньшее $1/4$

[terminator-II]

если интересно, возможна еще такая оценка

$$\int_\Omega\psi_kdV=O\Big(\frac{\|\psi_k\|_{C(\Omega)}}{\lambda_k^{\alpha}}\Big)$$

где $\alpha$ любое число меньшее $1/2$
в случае когда $\Omega$ -- отрезок эта оценка бесконечно близка к неулучшаемой