задача на экстремум

[NeBotan]

ДОброго всем времени суток. Туплю над такой задачей:


Контейнер имеет форму куба со стороной 9 м. Найти параметры грузового отсека космического корабля, вмещающего данный контейнер и имеющего форму эллипсоида вращения максимального объема

Мне интересно, как записать уравнение связи?

Единственное, до чего я додумался, что в принципе, нам достаточно рассмотреть квадрат и эллипс максимальной площади. Площадь эллипса равна $S=\pi ab$. а вот как связать ее с площадью квадрата, ума не приложу(((

буду благодарен любой полезной мысли.

[Circiter]

Цитата:

эллипсоида вращения максимального объема

Это часом не шар будет? :)

В общем, кажется, что-то вроде сферы (ну или другого эллипсоида), описанной около куба надо будет рассматривать...

[passs]

Достаточно записать уравнение эллипса в виде $x=acos\alpha, y=bsin\alpha$ и посмотреть, что будет в точке $\frac{ \pi} {4}$.

[Yu_K]

NeBotan в сообщении #327493 писал(а):

Контейнер имеет форму куба со стороной 9 м. Найти параметры грузового отсека космического корабля, вмещающего данный контейнер и имеющего форму эллипсоида вращения максимального объема

Может все-таки минимальный объем интересует?

[ewert]

passs в сообщении #327495 писал(а):

Достаточно записать уравнение эллипса в виде $x=acos\alpha, y=bsin\alpha$ и посмотреть, что будет в точке $\frac{ \pi} {4}$.

Зачем?... Альфа же в этих уравнениях -- вовсе не полярный угол.

NeBotan в сообщении #327493 писал(а):

Единственное, до чего я додумался, что в принципе, нам достаточно рассмотреть квадрат и эллипс максимальной площади. Площадь эллипса равна $S=\pi ab$. а вот как связать ее с площадью квадрата, ума не приложу(((

Правильно, никак. Поскольку площади непосредственно с объемами никак не связаны.

Возьмите каноническое уравнение эллипсоида и потребуйте, чтоб ему удовлетворяла точка (1;1;1) -- это и будет уравнением связи. И минимизируйте объем эллипсоида, т.е. произведение всех трех пулуосей. В конце концов получится функция одной переменной (раз уж вращения). Ну и потом привинтите туда еще множители пи и четыре с половиной. (Конечно, сфера и получится, что же еще.)

------------------------------------------------------
Но вообще условие -- странное. Где это они нашли эллиптические отсеки на космических кораблях?... Правильная формулировка -- такая: найти эллиптическое яйцо минимального объема, в которое после высасывания его содержимого можно засунуть данный игральный кубик.

[NeBotan]

ewert в сообщении #327505 писал(а):

Возьмите каноническое уравнение эллипсоида и потребуйте, чтоб ему удовлетворяла точка (1;1;1) -- это и будет уравнением связи.

А почему точка (1;1;1) ???? Как я понял, углы ромба будут касаться эллипсоида. Ромб вписан в эллипсоид симметрично, значит точка касания угла ромба равна (4.5;4.5; 4.5). Тогда получается уравнение связи $\frac{81}{a^2}+\frac{81}{b^2}+\frac{81}{c^2}=4$

passs в сообщении #327495 писал(а):

Достаточно записать уравнение эллипса в виде $x=acos\alpha, y=bsin\alpha$ и посмотреть, что будет в точке $\frac{ \pi} {4}$.

То есть мы рассматриваем сечение, в точке $\frac{ \pi} {4}$ будет угол куба и он должен удовлетворять уравнениям эллипса. Тогда так как координаты будут равны 4.5, то $a=b=\frac{ 9} {2}\frac{\sqrt{2}} {1}=\frac{ 9} { \sqrt{2}}$ и это будет радиусом шара.

[ewert]

NeBotan в сообщении #327546 писал(а):

passs в сообщении #327495 писал(а):

Достаточно записать уравнение эллипса в виде $x=acos\alpha, y=bsin\alpha$ и посмотреть, что будет в точке $\frac{ \pi} {4}$.

То есть мы рассматриваем сечение, в точке $\frac{ \pi} {4}$ будет угол куба и он должен удовлетворять уравнениям эллипса. Тогда так как координаты будут равны 4.5, то $a=b=\frac{ 9} {2}\frac{\sqrt{2}} {1}=\frac{ 9} { \sqrt{2}}$ и это будет радиусом шара.

Неверно. Альфа -- это не угол.

[мат-ламер]

Исходную задачу можно записать как следующую задачу оптимизации $abc\to min$ при условии $a^{-2}+b^{-2}+c^{-2}=A$. Где $a,b,c$ - полуоси эллипсоида (пока не вращения), $A$ - константа. Объём корабля всё-же минимизируем. Применяем к этой задаче метод множителей Лагранжа, получаем, что $a=b=c$. То есть мы получили шар (при этом эллипсоид вращения).