Вопрос по мат. анализу: бэровское пространство

[m_mike]

помогите разобраться в задаче
Пусть $B(x_0)$ - бэровское пространство:
элементами которого являются всевозможные последовательности натуральных чисел.
Положим
$d((n_i) i=1...\infty , (m_i) i=1...\infty)=\frac{1}{k}$, где $k=min\{i: n_i \not = m_i\}$ ,
если $(n_i) i=1...\infty \not = (m_i) i=1...\infty$ и $d((n_i) i=1...\infty , (n_i) i=1...\infty)=0$.
1. Будет ли $d$ - метрикой?
2. Будет ли $(B(x_0),\tau_d)$ - компактно?
3. Будет ли $(B(x_0),\tau_d)$ - связно?
----------------------------------------
Мое предположение:
1. Будет ли $d$ - метрикой?
d должна удовлетворять следующим условиям:
1) аксиома тождества $d((n_i) i=1...\infty , (m_i) i=1...\infty)=0$ <=> $(n_i) i=1...\infty =(m_i) i=1...\infty$, т.к. $d((n_i) i=1...\infty , (n_i) i=1...\infty)=0$. Верно!
2) Аксиома симметрии, тоже очевидна. $d((n_i) i=1...\infty , (m_i) i=1...\infty) = d((m_i) i=1...\infty , (n_i) i=1...\infty). Верно!

3) неравенство треугольника $d((n_i) i=1...\infty , (m_i) i=1...\infty) \le d((n_i) i=1...\infty , (l_i) i=1...\infty) + d((l_i) i=1...\infty , (m_i) i=1...\infty).
Кажись тоже очевидно. Но как это доказать?


2. Будет ли $(B(x_0),\tau_d)$ - компактно?
Возьмем любой элемент пространства $a=(a_1,...,a_n,...) \in B$ и рассмотрим $O_\epsilon(a)$, тогда при $0< \epsilon< \frac {1}{2}$, $O_\epsilon(a) \cap B = a $, $a$ не является предельной точкой, т.к. по определению $O_\epsilon(a) \{a} \cap B = a $ , то любая $O_\epsilon(a)$ содержит бесконечное множество точек.
Отсюда следует компактность?


3. Будет ли $(B(x_0),\tau_d)$ - связно?
изходя из определения "связное пространство — это топологическое пространство, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся открытых подмножества"
Как проверить можно ли разбить на непересекающиеся открытые подмножества? или надо идти другим путем?

[neo66]

m_mike в сообщении #327611 писал(а):

3) неравенство треугольника $d((n_i) i=1...\infty , (m_i) i=1...\infty) \le d((n_i) i=1...\infty , (l_i) i=1...\infty) + d((l_i) i=1...\infty , (m_i) i=1...\infty).
Кажись тоже очевидно. Но как это доказать?

Да просто по определению. Пусть $d(m,n)= \frac 1 k, d(n,l)= \frac 1 t$ и, скажем, $k\le t$. Тогда$ d(m,l)= \frac 1 k$ и $d(m,n) \le d(m,l) + d(l,n)$. Случай $k\ge t$ рассматривается аналогично.

[maxmatem]

Вот по поводу компактности. Вы каким определением компактности оперируйте? через покрытия?

[m_mike]

Цитата:

Вот по поводу компактности. Вы каким определением компактности оперируйте? через покрытия?

теорема: если любая подпоследовательность $x \in B(x_0)$ содержит предельную точку, то $B(x_0)$ - компактно