Геометрия пространства неевклидова?

[В. Войтик]

Вот, что я сказал
$g_{ik}=g_{ik}(W(t),\Omega(t),r)$
$\gamma_{\alpha\beta}=\gamma_{\alpha\beta}(W(t),\Omega(t),r)$
, где $g_{ik}$, $\gamma_{\alpha\beta}$ -метрические тензоры 4-пространства и 3-пространства
В чём здесь криминал?

[kkdil]

myhand в сообщении #326364 писал(а):

2) Полевой вариант это логуновская РТГ что-ли - ее разве не закопали лет 20 назад (см. статью Зельдовича и Грищука в УФН, т.155, вып.3)?

Со статьей я знакомился. Но речь идет не только и не столько про РТГ, а вообще о биметрический теориях.

myhand в сообщении #326364 писал(а):

1) Интересно, от "векторности" "вектора" после этого что-то останется? Напоминаю, тензоры (вектора в частности) определяются по тому как их компоненты преобразуются при смене координат.

Могу предложить два варианта:
1. Изменение правил параллельного переноса. Но мне это не нравится .
2. Счтаем пространство плоским, векторы остаются традиционными, а всю кривизну списываем на некоторые силы. Собственно в этом ничего нового нет. Имхо, конечно.

[В. Войтик]

Пардон kkdil, Вам не кажется, что Вы захватываете мою тему?

[kkdil]

В. Войтик в сообщении #327124 писал(а):

Пардон kkdil, Вам не кажется, что Вы захватываете мою тему?

Честно говоря не кажется. Но больше не буду, пардон.

[myhand]

В. Войтик в сообщении #327112 писал(а):

Вот, что я сказал
$g_{ik}=g_{ik}(W(t),\Omega(t),r)$
$\gamma_{\alpha\beta}=\gamma_{\alpha\beta}(W(t),\Omega(t),r)$
, где $g_{ik}$, $\gamma_{\alpha\beta}$ -метрические тензоры 4-пространства и 3-пространства
В чём здесь криминал?

Да не в чем. Просто гадаю над тем, что Вы хотите сказать - не только я но и peregoudov например. Ведь абсолютно невнятное утверждение. Что у Вас означают "поворот"? "Сдвиг по времени" - это сдвиг по координатному времени ускоренной системы отсчета?

Я понимаю, что за автором нужно "домысливать хорошее" (презумпция разумности), но я бы посоветовал автору чуть яснее построить изложение. Лучше всего, разобрав простой пример типа двухмерного пространства Минковского. Рассмотрите там ускоренные системы отсчета (нет вращений, все просто), дав соответствующие определения и покажите, что ваши утверждения. Чуть больше математики - чуть меньше буков :)

В. Войтик в сообщении #326387 писал(а):

Только вот в этой теме моя цель показать что пространство во вращающейся системе отсчёта евклидово.

Замечательная цель. Имеем ИСО. Переход во вращающуюся систему отсчета описывается преобразованиями XXX... Вот метрический тензор эффективного трехмерного пространства... Раз Ваша цель показать что-то - может стоит сразу делать это конструктивно?

[В. Войтик]

myhand в сообщении #327196 писал(а):

В. Войтик в сообщении #326387 писал(а):

Только вот в этой теме моя цель показать что пространство во вращающейся системе отсчёта евклидово.

Замечательная цель. Имеем ИСО. Переход во вращающуюся систему отсчета описывается преобразованиями XXX... Вот метрический тензор эффективного трехмерного пространства... Раз Ваша цель показать что-то - может стоит сразу делать это конструктивно?

Собственно, если Вы не заметили я всё это время ждал Вашего согласия и наконец дождался

myhand в сообщении #327196 писал(а):

В. Войтик в сообщении #327112 писал(а):

В чём здесь криминал?

Да не в чем.

Вот если бы Вы сразу не упрямились, то имели бы возможность весело со всеми посмеяться надо мной. Вот, что я собирался сделать. За подробным доказательством отослать к книжке Логунова «Лекции по теории относительности и гравитации» пар. 28, 30, стр. 192. Я просто тезисно его здесь изложу.
Метрика пространства при сдвиге в произвольной системе отсчёта тоже должна быть форминвариантна. Вот это условие
$\gamma_{\alpha\beta}=\gamma_{\alpha\beta}(W(t),\Omega(t),R)$
Это означает, что при смене положения наблюдателя старая метрика пространства в некоторой системе координат и новая метрика пространства в такой же системе координат должны иметь одинаковую форму. Могут изменится только характеристики системы отсчёта. Математически это означает, что вариация метрики в смысле Ли должна быть равна нулю.
$\delta_{L}\gamma_{\alpha\beta}=0$ .Отсюда следуют уравнения Киллинга. Их решение даёт конечный результат: скалярная кривизна пространства должна быть постоянна по пространству.
$\frac{dR}{dx_{\alpha}}=0$
В инерциальной системе отсчёта пространство евклидово, т.е. скалярная кривизна равна нулю
$R=0$
Значит она нулевая и в неинерциальной системе отсчёта.
Но пока Вы myhand думали до меня дошло, что оно не проходит. Так, что извините Алия - не оправдал….

Поймите меня правильно. Мне не нравится известная метрика пространства не потому, что я не люблю неевклидовую геометрию. Я, например, уверен, что пространство скоростей есть пространство Лобачевского. Но эта метрика пространства получается не как в ОТО. А вот как с обычным физическим пространством?

Как обычно получается метрика пространства в теории относительности. Полагается, что в соседних точках пространства физическое «время» одинаковое.
$d\tau=\sqrt{1-(\Omega*R)^2}dT-\frac{(\Omega*R)dR}{\sqrt{1-(\Omega*R)^2}}=0$. (*)
Отсюда
$\gamma_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}+\frac{{(\Omega*R)}_{\alpha}{(\Omega*R)}_{\beta}}{1-(\Omega*R)^2}$
Если бы выражение (*) было полным дифференциалом всё было бы просто замечательно.
И этой темы вообще бы для меня не было. Но это не так и это меня в современной теории не удовлетворяет…
В общем сейчас до меня дошло, что пространство действительно неевклидовое! Но его надо вводить совсем по другому. Надо использовать обычное координатное преобразование сдвига из вращающейся системы отсчёта
$X=(x+b)cos\frac{\omega Vy}{\sqrt{1-V^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-V^2}}sin\frac{\omega Vy}{\sqrt{1-V^2}}$
$Y=\frac{y}{\sqrt{1-V^2}}cos\frac{\omega Vy}{\sqrt{1-V^2}}-(x+b)sin\frac{\omega Vy}{\sqrt{1-V^2}}$
$Z=z$
и так как это делается в пространстве скоростей устремить точку $(X,Y)$ к $(b,0,0)$.
Тогда сразу получится известный пространственный интервал.
В общем, вывод из всего этого лично для меня такой
геометрия пространства не зависит от того синхронизованы часы или нет.
На остальное myhand немного погодя. Пусть у меня немножко это устоится. Сразу на все Ваши вопросы отвечу. Просто мне это уже неинтересно.

[myhand]

В. Войтик в сообщении #327508 писал(а):

На остальное myhand немного погодя. Пусть у меня немножко это устоится. Сразу на все Ваши вопросы отвечу. Просто мне это уже неинтересно.

Поскольку тезис Ваш снимается - можете не трудиться.

[В. Войтик]

myhand в сообщении #327523 писал(а):

Поскольку тезис Ваш снимается ...

Тема этим совсем не исчерпана. Если я согласился с тем, что пространство неевклидово, то это совсем не означает, что я готов в попу целовать современную лагранжеву формулировку. Например я не согласен с метрикой.
Надо согласовать лагранжевскую и эйлеровскую формулировки ТО

[В. Войтик]

Итак поясню это свою позицию.
В современной лагранжевской формулировке теории относительности нет
- понятия расстояния для нестационарных систем отсчёта
- элемент расстояния (метрика пространства) зависит от синхронизации часов
- не существует гиперповерхности постоянного "физического" времени ортогональной всем мировым линиям точек системы координат системы отсчёта обладающей вращением. Другими словами дифференциал "физического" времени не является полным.
Я расцениваю всё это как некоторые трудности теории.
Тем не менее для согласования физических результатов двух пониманий системы отсчёта обычный путь: переход от лагранжевской системы отсчёта к эйлеровской.
К примеру: Есть некоторые лагранжевские координаты и метрика. Считают эти координаты эйлеровским и получают метрику пространства в таких координатах.
Я предлагаю заменить стандартную логику перехода от Лагранжа к Эйлеру обратной: от Эйлера к Лагранжу.
Что конкретно я предлагаю? Вот мы имеем метрику пространства в эйлеровских декартовых координатах
$dl^2=dR^2+\frac{((\Omega*R)dR)^2}{1-(\Omega*R)^2}$ (**)
или
$\gamma_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}+\frac{{(\Omega*R)}_{\alpha}{(\Omega*R)}_{\beta}}{1-(\Omega*R)^2}$
Данная метрика должна быть инвариантом, поскольку элемент физического расстояния не может зависеть ни от способа описания, ни от выбора системы координат и координатного времени. Делаем замену от декартовых координат к произвольным криволинейным координатам зависящим от времени $q_{0}$
$R_{\alpha}=R_{\alpha}(q_{\beta},q_{0})$ (***)
Получившееся выражение будет довольно громоздко и я его не буду приводить.
Метрика будет некоего вида
$dl^2=\gamma_{\alpha\beta}dq_{\alpha}dq_{\beta}+\gamma_{0\alpha}dq_{\alpha}dq_{0}+\gamma_{00}dq_{0}^2=invariant$
Данная метрика будет описываться лагранжевским методом. Таким образом если сейчас обратно перейти к декартовым координатам мы опять получим расстояние (**). Этот метод подсчёта конечно отличается от стандартного подхода когда замену (***) поставляют в интервал 4-пространства вращающейся системы отсчёта, а затем уже из него получают метрику обычного 3-пространства.
Тем не менее я утверждаю, что именно этот метод Эйлер-->Лагранж правильнее поскольку вообще не зависит от манипуляций с "физическим" временем.
ПМСМ метрика пространства
$\gamma_{\alpha\beta}=-g_{\alpha\beta}+\frac{g_{0\alpha}g_{0\beta}}{g_{00}}$
сдохла и уже воняет

[peregoudov]

myhand в сообщении #327196 писал(а):

за автором нужно "домысливать хорошее"

А если уже совсем никак не получается, ругаться матом

Для нас с вами ОТО начинается с пространственно-временного многообразия как геометрического, бескоординатного, объекта. И разные системы отсчета всего лишь разные координатные сетки на этом многообразии. С такой точки зрения все прозрачно и нет проблем в понимании идеологии ОТО.

Но я сталкиваюсь с тем, что есть весьма непустое множество людей, которым про многообразие рассказать забыли и которые считают систему отсчета чем-то вроде физической реальности Доходя до того, что в одной системе отсчета пространство-время может быть плоским, а в другой --- искривленным. То же самое пространство-время. Отсюда же растут ноги у заморочки, что "система отсчета и система координат --- это разные понятия". Отсюда же "одушевление" наблюдателя. Вот и автор темы принадлежит, судя по всему, к этому славному множеству.

[myhand]

В. Войтик в сообщении #327619 писал(а):

Данная метрика должна быть инвариантом, поскольку элемент физического расстояния не может зависеть ни от способа описания, ни от выбора системы координат и координатного времени.

Инвариантом по отношению к каким преобразованиям?

А почему вдруг зависеть не может? По щучьему велению?

Мне кажется, Вы постулируете сперва то, что собираетесь потом показать. А к СТО все это чуть менее чем никакого отношения не имеет. "Стандартный подход" - немножко больше чем "подстановка в интервал той формулы" (взатой из ?), если под "стандартным" Вы понимаете что-то в духе ЛЛ (т.II, там есть параграф целый "Вращение", если не запамятовал).

peregoudov в сообщении #327628 писал(а):

Но я сталкиваюсь с тем, что есть весьма непустое множество людей, которым про многообразие рассказать забыли и которые считают систему отсчета чем-то вроде физической реальности Доходя до того, что в одной системе отсчета пространство-время может быть плоским, а в другой --- искривленным.

Ну, топикстартер вроде бы не принадлежит к сей категории. В смысле, от смены системы отсчета пространство-время у него не искривляется. А что касается трехмерного пространства - его выделение зависит от системы отсчета и не имеет в общем-то инвариантного характера.

PS: В. Войтик, извините за глупые вопросы, если что.

[В. Войтик]

peregoudov в сообщении #327628 писал(а):

Для нас с вами ОТО начинается с пространственно-временного многообразия как геометрического, бескоординатного, объекта. И разные системы отсчета всего лишь разные координатные сетки на этом многообразии. С такой точки зрения все прозрачно и нет проблем в понимании идеологии ОТО.

Я с этим тоже согласен.

peregoudov в сообщении #327628 писал(а):

Но я сталкиваюсь с тем, что есть весьма непустое множество людей, которым про многообразие рассказать забыли и которые считают систему отсчета чем-то вроде физической реальности Доходя до того, что в одной системе отсчета пространство-время может быть плоским, а в другой --- искривленным. То же самое пространство-время.

Так. А с чего Вы взяли, я так считаю?

peregoudov в сообщении #327628 писал(а):

Отсюда же растут ноги у заморочки, что "система отсчета и система координат --- это разные понятия". Отсюда же "одушевление" наблюдателя. Вот и автор темы принадлежит, судя по всему, к этому славному множеству.

Ну система отсчёта и система координат действительно разные понятия в эйлеровском понимании.

-- Пт июн 04, 2010 17:02:46 --

myhand в сообщении #327630 писал(а):

Инвариантом по отношению к каким преобразованиям?

А почему вдруг зависеть не может? По щучьему велению?

По отношению вообще к любым преобразованиям системы координат. Возможна ведь и нестатическая система координат в данной системе отсчёта.
При этом положение наблюдателя не изменяется. Он у нас один и находится в начале системы отсчёта.

myhand в сообщении #327630 писал(а):

PS: В. Войтик, извините за глупые вопросы, если что.

Всё нормально

[В. Войтик]

Вот ещё аргумент.
Значит так (опять сначала). Сначала о принципе общей форминвариантности в применении к пространству. (Правильнее конечно название "общий принцип относительности" но этот термин уже занят ).
При сдвиге из произвольной системы отсчёта в систему отсчёта отличающейся от первоначальной лишь её положением в стандартной системе координат первоначальной системы, пространственная метрика новой системы отсчёта в новой стандартной системе координат не изменится (будет форминвариантна). Могут изменится лишь собственные характеристики системы отсчёта.
Имеем метрику во вращающейся системе отсчёта

$$dl^2=d\mathbf{R}^2+\frac{((\mathbf{\Omega}\times\mathbf {R})d\mathbf{R})^2}{1-(\mathbf{\Omega}\times\mathbf {R})^2}$$

(1)
Если считать правильным современный лагранжевский метод определения метрики 3-пространства, то получим для произвольной эйлеровской системы отсчёта

$$ds^2=((1+\mathbf{wr})^2-(\mathbf{\omega}\times\mathbf {r})^2)dt^2-2(\mathbf{\omega}\times\mathbf {r})d\mathbf{r}dt-\mathbf{r}^2$$

$$dl^2=d\mathbf{r}^2+\frac{((\mathbf{\omega}\times\mathbf {r})d\mathbf{r})^2}{(1+\mathbf{Wr})^2-(\mathbf{\omega}\times\mathbf {r})^2}$$

(2)
Преобразование координат при сдвиге такое

$$X=(x+b)cos\frac{\Omega Vy}{\sqrt{1-V^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-V^2}}sin\frac{\Omega Vy}{\sqrt{1-V^2}}$$

$$Y=\frac{y}{\sqrt{1-V^2}}cos\frac{\Omega Vy}{\sqrt{1-V^2}}-(x+b)sin\frac{\Omega Vy}{\sqrt{1-V^2}}$$

$$Z=z$$

(3)
При этом новая угловая скорость есть

$$\omega=\frac{\Omega}{1-V^2}$$

(4)
а новое собственное ускорение есть

$$w=\frac{W}{1-V^2}$$

(5)
Подставим теперь преобразование (3) в формулу для метрики (1). В новой системе отсчёта должна получиться метрика (2) с собственными характеристиками (4) и (5). Однако насколько я могу судить эта форминвариантность не получается. А следствия такие. Либо
1. Принцип общей форминвариантности в применении к метрике 3-пространства неверен.
Либо
2. Метрика 3-пространства не следует из метрики пространства-времени.
Я всё - таки склоняюсь ко второму варианту.
А как думает народ?

[В. Войтик]

Извините уравнение (5) неправильное. Правильно

$$w=-\frac{\Omega V}{1-V^2}$$

(5)

[В. Войтик]

В. Войтик в сообщении #327878 писал(а):

....Однако насколько я могу судить эта форминвариантность не получается. ...

Да, точно. Метрика (1) не переходит при сдвиге в метрику (2). Это видно из того, что при подстановке преобразования сдвига в метрику (1) в ответе получится член порядка $y^4dy^2$ для малых $\Omega$. Тогда как в метрике (2) такого члена не будет.