Метод обратной итерации

[cyb12]

Для нахождения собственных векторов некоторой матрицы $A$ используется метод обратной итерации. Идея в следующем, как я понимаю:
Пусть мы вычислили как-то (например методом вращений) собственное значение $\tilde\lambda$ матрицы $A$, которое $\tilde\lambda\approx\lambda$ -- примерно равно точному. Теперь нужно решить систему $(A-\lambda E)x=0$, где $E$ -- единичная матрица, но точного собственного значения у нас нет, и $\det (A-\tilde\lambda E)\neq0$. Утверждается, что если мы возьмем произвольный вектор $b\neq0$ и рассмотрим систему $(A-\tilde\lambda E)x=b$, которая теперь уже имеет единственное решение, зададимся начальным приближением $x^0=b$, и построим итерационный процесс $x^k=(A-\tilde\lambda E)x^{k+1}$, то за небольшое число итераций мы получим собственный вектор. В качестве обоснования обчно приводится случай, когда у матрицы $A$ есть базис из собственных векторов $x_j$. Тогда если $b=\sum\limits_j\beta_j x_j$, $x=\sum\limits_j\alpha_j x_j$, то показывается, что $\alpha_j=\dfrac{\beta_j}{\lambda_j-\tilde\lambda}$, то есть самый большой коэффициент в разложении $x$ -- коэффициент при искомом собственном векторе. Почему это означает, что каждый шаг по такой схеме приводит к вектору, все больше похожему на искомый собственный?

[ewert]

Потому, что $x=\sum\limits_j\dfrac{\beta_j}{(\lambda_j-\tilde\lambda)^k}\cdot x_j$, причём $\left|\lambda_0-\tilde\lambda\right|\ll\left|\lambda_j-\tilde\lambda\right|$ при $j\ne0$ и, соответственно, отношение $\left|\dfrac{\beta_0}{(\lambda_0-\tilde\lambda)^k}\right|$ ко всем остальным $\left|\dfrac{\beta_j}{(\lambda_j-\tilde\lambda)^k}\right|$ экспоненциально и очень быстро уходит на бесконечность.

[cyb12]

Да, это понятно. Но почему такая схема? Почему $x^k=(A-\tilde\lambda E)x^{k+1}$?

[ИСН]

Потому что такая схема даёт сходимость куда надо. Почему даёт - вот формулы.
В чём вопрос?

[cyb12]

Что-то тупил по-страшному . Все, спасибо.

[ewert]

ИСН в сообщении #327204 писал(а):

такая схема даёт сходимость куда надо.

Но, в порядке буквоедства, -- только тогда, когда соотв. собственному числу не отвечает нетривиальных жордановых клеток. Иначе -- дело швах. В том смысле, что сходимость и там будет, но -- очень-очень хиленькая.