Почему парадокс Рассела - корректная формулировка?

[Someone]

А вот, например, множество всех множеств. Оно задаётся одним свойством или двумя? Можно ли из его определения вывести противоречие?

[rishelie]

Lyosha в сообщении #259923 писал(а):

С пустым множеством каюсь,не заметил.Но это,наверное, исключительный случай.Что касается определения "одного свойства",то под этим я понимаю простое(несоставное,без пропозициональных связок) высказывание о множестве.Само же характеристическое свойство является конъюнкцией двух высказываний.

т.е. определение множества $A$ через высказывание $x\in A\leftrightarrow x\notin x$ не является одним свойством? ведь тут конюънкция двух импликаций: $(x\in A\to x\notin x)\land(x\notin x\to x\in A)$. Или же за свойство следует считать правую часть ($x\notin x$)?
В формализме ТМ вообще без связок можно написать только выражение $a\in b$, в крайнем случае еще кванторы навесить. А выражения типа $a\subseteq b$ уже являются сокращениями для более сложных, и как правило, тут даже конъюнкцией двух отношений принадлежности дело не ограничивается.

[Lyosha]

Множество всех множеств содержит все не самосодержащие множества.Однако,из этого свойства следует,что оно содержит себя в качестве элемента и это действительно так.

Что касается парадокса Кантора,то в нем используется теорема:мощность любого множества меньше мощности множества всех его подмножеств.При доказательстве же этой теоремы используется понятие о множестве всех "плохих" элементов исходного множества,приводящее к противоречию,которое показывает,что не существует биективного отображения между такими множествами.Но ведь и существование множества "плохих" элементов вводится без доказательства и эта посылка сама по себе может привести к противоречию.Таким образом,считаю эту теорему не доказанной в общем виде.Приминительно ко множеству всех множеств это означает,что не доказано несуществование биективного отображения этого множества,при котором "плохими" элементами оказазались бы все несамосодержащие множества и только они(а такого множества не существует и ему не надо искать прообраз),на множество всех его подмножеств.Поэтому парадокс Кантора считаю,по крайней мере необоснованным.

P.S.Множества всех несамосодержащих множеств(это не характеристическое свойство) должны содержать себя в качестве элемента(иначе противоречие).Если из любого из таких множеств "выкинуть" само это множество,то дляполученного набора объектов уже не будет существовать множества,содержащего все эти объекты и только их.Поэтому в качестве набора "плохих" элементов может выступать один из наборов таких объектов.

[Lyosha]

В своем предыдущем сообщении я допустил неточность.Там я утверждал,что если из множества для которого справедливо высказывание:множество содержит все несамосодержащие множества,выкинуть само это множество,то для полученного набора объектов не будет существовать множества,содержащего все эти объекты и только их.Однако,это не так.Среди этих объектов может находиться множество,содержащее все эти объекты(включая себя) и только их.Но набор объектов в который входят все несамосодержащие множества и не входят множества,содержащие все объекты из этого набора и только их,уже не будет являться множеством.Вот эти объекты уже могут оказаться "плохими" элементами биективного отображения множества всех множеств на множество всех подмножеств этого множества(ели конечно такое отображение существует).

[ChechulinVL]

Парадокс Расселла разрешён в семантике самопринадлежности.
Множество содержащее в себе все несамопринадлежащие в множества -- самопринадлежаще.
ссылка удалена

[Toucan]

ChechulinVL, Вас же предупреждали о недопустимости подобного поведения.
Недельный бан на изучение правил.

[Prorab]

Мне кажется, что по сути вопроса все уже давно обсуждено. Тема закрыта, чтобы не провоцировать оффтопик (но может быть открыта по запросу)