Несобственный интеграл с помощью вычетов

[kirbi]

Здравствуйте.

Задача по ТФКП. Вычислить несобственный интеграл с помощью вычетов.


$\int_{- \infty}^{\infty} {\frac{x^2 + 1 }{x^4 + 1}dx}$

Собственно решение ищется по известной формуле

$\int_{- \infty}^{\infty} {f(x) dx} = 2 \pi i \sum_{k=1}^n Res_{z=z_k} f(z)$

Осталось найти вычеты ))
Я разложил знаменатель на множители, подинтегральная функция стала выглядеть так:

$\frac{x^2 + 1 }{(x + \frac{\sqrt(2)}{2} + i\frac{\sqrt(2)}{2})(x - \frac{\sqrt(2)}{2} - i\frac{\sqrt(2)}{2})(x - \frac{\sqrt(2)}{2} + i\frac{\sqrt(2)}{2})(x + \frac{\sqrt(2)}{2} - i\frac{\sqrt(2)}{2}) }$

Выходит есть 4 особые точки, из которых нам нужны только 2 (я правильно понял, что берём только те что лежат в верхней полуплоскости??). Обе точки полюсы, первого порядка.


$(\frac{\sqrt(2)}{2} + i\frac{\sqrt(2)}{2})$

$(- \frac{\sqrt(2)}{2} + i\frac{\sqrt(2)}{2})$

Считаем первый вычет, получаем, вот такую штуку.

$Res_{z=\frac{\sqrt(2)}{2} + i\frac{\sqrt(2)}{2}} {\frac{x^2 +1}{x^4 + 1} = $

$ = \lim_{z \to \frac{\sqrt(2)}{2} + i\frac{\sqrt(2)}{2}}{{\frac{(x^2 +1) (x - \frac{\sqrt(2)}{2} - i\frac{\sqrt(2)}{2})}{x^4 + 1}} $

Не знаю с какой стороны подойти к этому пределу. И верен ли в целом ход решения?

[ewert]

Проще посчитать вычет как числитель делить на производную знаменателя

[Хорхе]

Впрочем, и предел найти совершенно не составляет труда, после того, как Вы разложили знаменатель на множители.

[kirbi]

Начал считать вычеты. Считал как отношение числителя к производной знаменателя. В одной точке всё нормально посчиталось, а в другой $x = \frac{\sqrt(2)}{2} + i \frac{\sqrt(2)}{2}$ знаменатель выходит равным нулю. Что бы это значило и что с этим делать?

[ewert]

kirbi в сообщении #327372 писал(а):

В одной точке всё нормально посчиталось, а в другой знаменатель выходит равным нулю. Что бы это значило

Что облажались. Обе точки совершенно равноправны.

[kirbi]

ewert в сообщении #327375 писал(а):

Что облажались. Обе точки совершенно равноправны.

Да, посчитал не так. Теперь разобрался до конца. Всем спасибо.