Системы ДУ

[Nogin Anton]

Помогите пожалуйста найти Апшибку:

$\begin{cases} { y'_x +2y-4z=0 \\ z'_x -y-3z=3x^2\end{cases}$

$y''+2y'-4z'=0$

$z'=3x^2+y+3z$

$z=\frac14 y'+\frac12 y$

$y''+2y'-12x^2-4y-3y'-6y=0$

$y''-y'-10y=12x^2$

Тут при решении характеристического уравнения слишком нехорошие корни выходят..

[ShMaxG]

Все верно.

[Nogin Anton]

Большое спасибо!

[Nogin Anton]

Посмотрите такой пожалуйста:

$\{ \frac{dx}{dt}=4x+y-e^2t \\ \frac{dy}{dt}=y-2x$

AKM писал(а):

Малость подправляю формулы:
$\begin{cases} \frac{dx}{dt}=4x+y-e^{2t}\quad\text{\color{magenta}!} \\ \frac{dy}{dt}=y-2x \end{cases}$

Беру производную от первой функции: $x''=4x'+y'-2e^{2t}$ (*)

$y'$ выражаю из второго уравнения системы: $x''=4x'+y-2x-2e^{2t}$

Из первого уравнения системы выражаю $y$: $y=x'-4x+e^{2t}$

Всё, что получилось, подставляю в уравнение (*) $x''=4x'-4x+e^{2t}-2x-2e^{2t}$

$x''-4x'+6x=-e^{2t}$ (**)

Характеристическое уравнение:$\lambda^2 -4\lambda +6=0$; $\lambda_{1,2}=2\pm i$

$x_0=e^{2t}(C_1\cdot cosx+C_2 \cdot sinx)$

$x_{ch.n}=e^{2t}\cdot A$; $x'_{ch.n}=2A\cdot e^{2t}$;

$x''_{ch.n}=4A\cdot e^{2t}$

Полученные производные подставляю в уравнение (**)

$4A\cdot e^{2t}-8A\cdot e^{2t}+6A\cdot e^{2t}=-e^{2t}$

$2Ae^{2t}=-e^{2t}$; $A=-\frac12$

$x_{ch.n}=-\frac12 e^{2t}$; $x'_{ch.n}=-e^{2t}$

Ответ:

$\{ y=-e^{2t}+2e^{2t}+e^{2t} \\x=-\frac12 e^{2t}$ => $\{ y=2e^{2t} \\ x=-\frac12 e^{2t}$

Заранее большое спасибо!

[AKM]

Nogin Anton в сообщении #326888 писал(а):

$\begin{cases} y=2e^{2t} \\ x=-\frac12 e^{2t}\end{cases}$

Предлагаю найденное решение подставить, например, в это простенькое исходное уравнение, $\dfrac{dy}{dt}=y-2x$
убедиться, что Вы не правы, и методом внимательного перечитывания с использованием пальца найти свою оплошность (**).
По написанному и сам буду проверять --- не лопухнулся ли я, считая устно. Всё таки я в диффурах не особо...

[Nogin Anton]

$x''-4x'+6x=-e^{2t}$ (**)
Здесь ошибка? Чёт не найду...

[AKM]

Но ведь я прав, то решение тому уравнению не удовлетворяет? Вы согласны?
У меня получилось $x''-5x'+6x=-e^{2t}$. Но я сам такой невнимательный, особо не доверяйте.

[Nogin Anton]

Да, было не верно.
Я пересчитал всё, вроде получается..