длинная кривой

[Miktor]

Кривая задана системой
$ \left\{ \begin{array}{l} x = t^3 -3t,\\ y = t^2+2t,\\ 0\le t \le 2, \end{array} \right. $
Вот
$l= \int_{0}^{2} \sqrt{(3t^2-3)^2 +(2t+2)^2} dt = \int_{0}^{2} (t+1) \sqrt{(3t-3)^2 +4} dt$
а как дальше незнаю(

[gris]

А дальше разбить интеграл на два раскрытием первой скобки и проводить замены (осторожно с пределами интегрирования). Интегралы почти таблишные, ну со вторым немного повозиться, если его в Ваших таблицах не окажется.

[arqady]

gris в сообщении #324950 писал(а):

Интегралы почти таблишные, ну со вторым немного повозиться, если его в Ваших таблицах не окажется.

Там может помочь, что $1+\sh^2x=\ch^2x$ или $1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}$

[Miktor]

Все таки ни как не могу решить...
$\int_{0}^{2} (t+1) \sqrt{(3t-3)^2 +4} dt = \int_{0}^{2} \frac {9(t+1)(t-1)^2+4} {\sqrt{9(t-1)^2 +4}} dt = 3 \int_{0}^{2} \frac {(t+1)(t-1)^2} {\sqrt{(t-1)^2 +\frac {4}{9}}} dt} + \frac {4}{3} \int_{0}^{2} \frac {dt} {\sqrt{(t-1)^2 +\frac {4}{9}}} $
$ \frac {4}{3} \int_{0}^{2} \frac {dt} {\sqrt{(t-1)^2 +\frac {4}{9}}} = \frac {4}{3} ln(t-1+ \sqrt{(t-1)^2 +\frac {4}{9}}) $
$ \int_{0}^{2} \frac {(t+1)(t-1)^2} {\sqrt{(t-1)^2 +\frac {4}{9}}} dt} = \int_{1}^{3} \frac {(x+2)x^2} {\sqrt{x^2 +\frac {4}{9}}} dx} = \int_{1}^{3} \frac {(x^3+2x^2} {\sqrt{x^2 +\frac {4}{9}}} dx} = \int_{1}^{3} \frac {x^3dx} {\sqrt{x^2 +\frac {4}{9}}} } + 2\int_{1}^{3} \frac {x^2dx} {\sqrt{x^2 +\frac {4}{9}}} } $
$ \int_{1}^{3} \frac {x^3dx} {\sqrt{x^2 +\frac {4}{9}}} } = \dfrac12\int_{1}^{\sqrt3} \frac {x^2dx^2} {\sqrt{x^2 +\frac {4}{9}}} } = \dfrac12\int_{1}^{\sqrt3} \frac {x^2+\dfrac49 - \dfrac49} {\sqrt{x^2 +\frac {4}{9}}} dx^2 } = \dfrac12(\int_{1}^{\sqrt3} \sqrt{x^2+\dfrac49 }dx^2 - \dfrac49 \int_{\dfrac59}^{\sqrt3-\dfrac49} \dfrac {dx^2+\dfrac49}{\sqrt{x^2+\dfrac49}} ) = \dfrac23(x^2+\dfrac49)^{\dfrac32} -\dfrac2{9\sqrt{x^2-\dfrac49}} $
а как быть с $\int_{1}^{3} \frac {x^2dx} {\sqrt{x^2 +\frac {4}{9}}} }$ незнаю

[gris]

Последний интеграл по частям берётся, (что, конечно, приводит к предыдущему интегралу )но уж оччччень Вы намудрили. Я предполагал такое разбиение:

$\int (t+1) \sqrt{(3t-3)^2 +4} dt =\int (t-1) \sqrt{(3t-3)^2 +4} dt+\int 2\sqrt{(3t-3)^2 +4} dt=\dfrac1{18}\int ( \sqrt{(3t-3)^2 +4} d(3t-3)^2+\int 2\sqrt{(3t-3)^2 +4} dt=...$

С первым всё ясно, а второй берётся вышелюбезноуказанной заменой.

А вообще интегралы $\int\sqrt{x^2+1}\,dx ;\,\int\sqrt{x^2-1}\,dx;\,\int\sqrt{1-x^2}\,dx$ полезно твёрдо знать (метод решения).

[Miktor]

тоесть делаем замену
$ \dfrac23 \tg(x)=t-1$
$ \int \sqrt{9(t-1)^2 +4} dt= \int \sqrt{4 \tg^2{x} +4} dx= 2 \int \sqrt{ \tg^2{x} +1} dx= 2 \int \dfrac{dx} {\sqrt{ \cos^2{x}}} = 2 \int \dfrac{dx}{ \cos{x}} = \ln{|\tg{\dfrac{x}{2} + \dfrac \pi 4}|} $
$x=\arctg\dfrac{3(t-1)}2$

[gris]

Как же Вы та сделали замену?

$ \dfrac23 \tg(x)=t-1$

тогда $ \dfrac2{3\cos^2 x}dx=dt$

и так далее