Исследование устойчивости

[Евгеша]

Здравствуйте! Помогите разобраться с примером. Необходимо исследовать на устойчивость решение уравнения:

$y'+\frac yx + 3x^3y^2=0$
$y(1)=1$

Решение я нашел:

Общее вид: $y=\frac{1}{x(C+x^3)}$
Решение задачи Коши: $y^*=\frac {1}{x^4}$

По определению решение устойчиво, если $\forall \epsilon>0$ $\exists \delta>0$:

$|y(1)-y^*(1)|=\left|\frac{C}{C+1}\right|<\delta\Rightarrow|y-y^*|=\left|\frac{C}{(C+x^3)x^4}\right|<\epsilon$ $\forall x\geqslant1$

Далее нужно это доказать или опровергнуть. Какие есть предложения?

[VPro]

Выполняется очевидно, положите $\delta= \epsilon$

[Евгеша]

VPro в сообщении #326202 писал(а):

Выполняется очевидно, положите $\delta= \epsilon$

Очевидно только для C>0 . Поэтому не катит.

[ewert]

Да катит, катит. Это ж устойчивость, никто не потребует от Вас в этом месте буквоедских эпсилон-дельт. Вполне достаточно того, что при константе, стремящейся к нулю, разность решений стремится к нулю равномерно, а это тривиально -- достаточно оценить знаменатель разности при всех достаточно малых по модулю константах снизу.

[Евгеша]

ewert в сообщении #326386 писал(а):

Да катит, катит. Это ж устойчивость, никто не потребует от Вас в этом месте буквоедских эпсилон-дельт. Вполне достаточно того, что при константе, стремящейся к нулю, разность решений стремится к нулю равномерно, а это тривиально -- достаточно оценить знаменатель разности при всех достаточно малых по модулю константах снизу.

Верна ли такая оценка: $|C+1|\leqslant|x^4(C+x^3)|$ ?

[ewert]

Не знаю и не хочу знать, верна ли конкретно эта оценка. От Вас требуется совершенно другое: показать, что при стремлении начального условия к предельному -- решения равномерно также стремятся к предельному. Для этого конкретные неравенства вовсе не нужны. Нужны лишь очевидные огрубления.

[VPro]

Евгеша в сообщении #326455 писал(а):

Верна ли такая оценка: $|C+1|\leqslant|x^4(C+x^3)|$ ?

Да, верна.
Вам нужно доказать неравенство только при достаточно малых $\epsilon$, откуда при $\delta=\epsilon$ очевидно следует, что и $C$ достаточно мало и эта оценка выполняется.