Числа Мерссена

[SerjeyMinsk]

Числа Мерсенна - это числа вида Mn$2^{n}-1$ (не знаю как оформить нижний индекс)
Последовательность A000225 - 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023

Эту-же последовательность можно представить в виде
1x2+1 = 3
3x2+1 = 7
7x2+1 = 15
15х2+1 = 31
и т.д.

Не кажется ли Вам, что так проще для аппаратных ресурсов в виду уменьшения количества операций?
Как этот способ называется или как его назвать? Или формулу можете составить для него?

[meduza]

SerjeyMinsk в сообщении #325906 писал(а):

что так проще для аппаратных ресурсов в виду уменьшения количества операций?

Считать $2^n-1$ вообще не надо, это просто $n$ единиц в двоичнои коде. А "15х2+1 = 31" и т. д. -- реккурентность, чтобы посчитать $M_n$, нужно предварительно посчитать все $M_k$, $k<n$.
Или вы что-то другое спрашивали?

[yk2ru]

Числа ** (как их назвать?), некое обобщение от чисел Мерсенна.
$\frac{m^{n}-1}{m-1}$
и например
$\frac{3^{3}-1}{3-1}$ - простое число
Следующие $n$ для основания $3$ скорее всего $7, 13, 71, 103, 541$, чтобы получились простые числа.

[venco]

http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html?q=7%2C13%2C71%2C103&language=english&go=Search:
3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611

[Бодигрим]

SerjeyMinsk в сообщении #325906 писал(а):

Числа Мерсенна - это числа вида Mn $2^n-1$ (не знаю как оформить нижний индекс)Последовательность A000225 - 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023

Числами Мерсенна обычно называют только простые вида $2^n-1$ и это последовательность A001348.

Последовательность A000225 - это просто все подряд числа вида $a_n=2^n-1$. Их действительно можно вычислять по формуле $a_{n+1}=2a_n+1$, но это слишком элементарный факт, чтобы как-то особо его называть.

[yk2ru]

Для $\frac{n^{3}-1}{n-1}$
$a_n=a_{n-1}+2n$, если $a_1$ приравнять к $3$ изначально.

[Бодигрим]

yk2ru в сообщении #326839 писал(а):

Для $\frac{n^{3}-1}{n-1}$
$a_n=a_{n-1}+2n$, если $a_1$ приравнять к $3$ изначально.

Не понял. Что значит "для $\frac{n^{3}-1}{n-1}$"?

[yk2ru]

Для чисел такого вида если сказать, также будет не понятно? $n > 1$ в формуле.

Ещё более общий случай (чем последовательность чисел вида $2^n - 1$) - последовательности Люка.
$U_0(p,q) = 0,\quad U_1(p,q)=1,\quad U_{n+2}(p,q)=p\cdot U_{n+1}(p,q) - q\cdot U_n(p,q),\,n\geq 0$
$V_0(p,q) = 2,\quad V_1(p,q)=p,\quad V_{n+2}(p,q)=p\cdot V_{n+1}(p,q) - q\cdot V_n(p,q),\,n\geq 0$
или иначе
$U_n(p,q) = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}}$
$V_n(p,q) = \alpha^n + \beta^n$
Из их свойств и вывели тест на проверку чисел Мерсенна.

[Бодигрим]

Нет, все еще непонятно. Вы про последовательность A000225 говорите? Что именно вы представляете в виде $\frac{n^{3}-1}{n-1}$? Заполните, пожалуйста, пропуск:

Цитата:

Для ..., представимых в виде $\frac{n^{3}-1}{n-1}$, выполнено $a_n=a_{n-1}+2n$

Мне пока что понятно, что равенство $a_n=a_{n-1}+2n$ при $a_n=2^n-1$ выполнено только при $n=2^{n-2}$, т. е. ровным счетом при $n=4$.

[yk2ru]

Бодигрим в сообщении #327021 писал(а):

Что именно вы представляете

Есть формула, подставляя в него числа последовательно от 2, получите последовательность чисел, полученных из формулы. Числа $2^n-1$ к тому сообщению не имеют отношения, не нужно их связывать. Всё идёт из сообщения 3, сначала в той формуле одну переменную ($m$) приравнял к тройке, далее другую ($n$), всего лишь.