Матанализ, теория из курсовой работы

[Gofat]

Пусть
$f \in C(R^m), E1=\{ x \in R^m: f(x)<c \}, E2=\{ x \in R^m: f(x)\leq c \}, E3=\{ x \in R^m: f(x)=c \}$
Покажите, что Е1 открыто, а Е2, Е3 замкнуты.

[Trius]

Используйте теорему о характеризации непрерывности

[Gofat]

А что это за теорема? Просто я думал отталкиваться от определения функции непрерывной в точке.

[id]

Теорема говорит о том, что функция непрерывна тогда и только тогда, когда прообраз всякого открытого (соотв. замкнутого) множества открыт (соотв. замкнут).

В Вашем случае множество $\{y<c\}$ открыто, а $\{y \leqslant c\}, \ \{y=c\}$ замкнуты.

Но можно и исходя из определений. В первом случае надо просто воспользоваться непрерывностью и выбрать маленькую окрестность икса, в оставшихся берем последовательность точек из $E2$ (либо $E3$), учитываем, что функция непрерывна и "переходим к пределу в неравенстве".

[ewert]

Gofat в сообщении #325788 писал(а):

Покажите, что Е1 открыто, а Е2, Е3 замкнуты.

Фактически Е2 и Е3 -- это следствия Е1.

[Gofat]

Всем спасибо за ответ, курсовую сдал. Модеры, можете удалять тему.