Неоднородные ДУ со спец правой частью

[Nogin Anton]

Не разберусь с системой:

$y''-2y'+y=\frac{e^x}{x^5}$ - неоднородное ДУ со специальной правой частью

Метод вариации произвольной постоянной:

$\lambda^2-2\lambda +1=0$; $\lambda_{1,2}=1$

$y=C_1(x)e^2+C_2(x)e^xx$

Система:

$\{ C_1'e^x+C_2'e^xx=0 \\ C_1e^x+C_2e^x+C_2e^xx=\frac{e^x}{x^5}}$

Не разберусь со вторым уравнением системы <_<

[ИСН]

Слушайте, две неизвестных функции на одно уравнение - это слишком. Ищите в виде $C(x)e^x$ и не - - -

[ewert]

Nogin Anton в сообщении #325466 писал(а):

Не разберусь со вторым уравнением системы <_<

А чего с ним разбираться-то?... Просто решайте систему. Только сперва подсыпьте штрихов во второе уравнение, естественно.

[Nogin Anton]

Второе уравнение получается при дифференцировании целиком уравнения y?

[gris]

Надо посмотреть в учебнике V.V. , относятся ли отрицательностепенные многочлены к специальным правым частям? Зачем тогда вариация? Достаточно готового решения с учётом резонанса.

[ewert]

gris в сообщении #325477 писал(а):

Надо посмотреть в учебнике V.V. , относятся ли отрицательностепенные многочлены к специальным правым частям?

Не надо смотреть -- естественно, не относятся.

Nogin Anton в сообщении #325476 писал(а):

Второе уравнение получается при дифференцировании целиком уравнения y?

Нет, второе уравнение выписывается просто согласно книжкам (а уж как книжки его выводят -- вопрос десятый и не такой уж и простой; но главное, что рецепт именно таков).

А рецепт прост: все уравнения -- для именно производных от тех самых неизвестных функций.

[Nogin Anton]

Вот так получается...

$\{ C_1' e^x+C_2'e^xx=0 \\ C_1'e^x+C_2'e^x+C_2'e^xx=\frac{e^x}{x^5}$

$\Delta = \begin{vmatrix} e^x & e^xx \\ e^x & e^x+e^xx \end{vmatrix}=e^{2x}$

$\Delta C_1'=\begin{vmatrix} 0 & e^xx \\ \frac{e^x}{x^5} & e^x+e^xx \end{vmatrix}=-\frac{e^{2x}}{x^4}$

$\Delta C_2'=\begin{vmatrix} e^x & 0 \\ e^x & \frac{e^{2x}}{x^5} \end{vmatrix}$

$C_1'=-\frac{1}{x^4}$

$C_2'=\frac{1}{x^5}$

$C_1=\frac{x^{-3}}{3}+C_3$

$C_2=-\frac{x^{-4}}{4}+C_4$

$y=(\frac{x^{-3}}{3}+C_3)e^x+(C_4-\frac{x^{-4}}{4})e^xx$

.....

-- Вс май 30, 2010 12:17:00 --

ps в тегах не могу систему написать...)

[ewert]

В четвертой строчке очепятка, но все остальное верно.

Запись системы:

$\begin{cases} C_1' e^x+C_2'e^xx=0 \\ C_1'e^x+C_2'e^x+C_2'e^xx=\frac{e^x}{x^5}\end{cases}$

[Nogin Anton]

Спасибо за проверку, но не нашёл опечатку..

-- Вс май 30, 2010 13:25:39 --

А вот такой посмотрите:

$y''+4y'+4y=e^{-2x}lnx$

$\lambda^2+4\lambda +4=0$; $\lambda_{1,2}=-2$

$y=C_1(x)e^{-2x}+C_2(x)e^{-2x}x$

$\begin{cases}{ C_1'e^{-2x}+C_2'e^{-2x}x=0 \\ C_1'(-2)e^{-2x}+C_2'(-2)e^{-2x}x+C_2'e^{-2x}=e^{-2x}lnx \end{cases}$

$\Delta = \begin{vmatrix} e^{-2x} & e^{-2x}x \\ -2e^{-2x} & -2e^{-2x}x+e^{-2x} \end{vmatrix} =e^{-4x}$

$\Delta C_1' =\begin{vmatrix} 0 & e^{-2x}x \\ e^{-2x}lnx & -2e^{-2x}x+e^{-2x} \end{vmatrix}=-xlnxe^{-4x}$

$\Delta C_2' =\begin{vmatrix} e^{-2x} & 0 \\ -2e^{-2x} & e^{-2x}lnx \end{vmatrix}=e^{-4x}lnx$

$C_1'=-xlnx$; $C_2'=lnx$

$C_1=-\int x lnx dx = |u=lnx;dv=xdx;du=\frac{dx}{x}; v=\frac12 x^2|=\frac{1}{4}x^2-\frac12 x^2 lnx-C_3$

$C_2=\int lnx dx=xlnx-x+C_4$

$y=(\frac{1}{4} x^2-\frac12 x^2lnx-C_3)e^{-2x}+(xlnx-x+C_4)e^{-2x}x$