Дифференциал длины годографа вектор-функции - что это?

[Ali_Ka]

Добрый день!
У меня есть задание - найти дифференциал длины годографа вектор-функции

$$r(t) = (t+1)\vec{i} + (t^2-1)\vec{j} + t^3\vec{k}.$$

Но в учебниках, которые я смотрел, такого нет - есть только дифференциал длины дуги. Я не знаю, можно ли здесь использовать формулу:

$$ds = \sqrt{(x')^2 + (y')^2 + (z')^2}dt$$

или же для моего случая она не годится?

[Padawan]

Ali_Ka
Да, да. Это она.

[Ali_Ka]

Padawan, то есть получается, что дифференциалом будет:

$$ds = \sqrt{1^2 + (2t)^2 + (3t^2)^2}dt = \sqrt{1 + 4t^2 + 9t^4}dt,$$

а в точке $t_0 = 1$, в которой мне нужно его найти, получится:

$$ds = \sqrt{1 + 4 + 81}dt = \sqrt{86}dt?$$

[maxmatem]

Честно говоря выглядит немного странно..... я имею в виду что все производные вы правильно нашли и в формулу подставили совершенно верно, но всё-таки как то не очень окончательный результат радует......

[Padawan]

Ali_Ka
Под корнем должно быть $1+4+9=14$. А так всё правильно.

[AKM]

Ali_Ka в сообщении #325173 писал(а):

У меня есть задание - найти дифференциал длины годографа вектор-функции

$$r(t) = (t+1)\vec{i} + (t^2-1)\vec{j} + t^3\vec{k}.$$

Насколько я понимаю, речь о том, чтобы найти дифференциал длины [ДУГИ] годографа данной вектор-функции (а не дифференциал длины [ДУГИ] данной вектор-функции). А годографом, если не ошибаюсь, является кривая $[x'(t),y'(t),z'(t)]$ (без нормировки на единичность вектора? вроде да, без оной...)

Цитата:

Но в учебниках, которые я смотрел, такого нет - есть только дифференциал длины дуги. Я не знаю, можно ли здесь использовать формулу:

$$ds = \sqrt{(x')^2 + (y')^2 + (z')^2}dt$$

или же для моего случая она не годится?

И тогда здесь придётся подменить указанную правильную формулу на

$$ds = \sqrt{(x'')^2 + (y'')^2 + (z'')^2}\,dt.$$

Не уверен в своей правоте, хотелось бы, чтобы кто-то подтвердил или опроверг мои сомнения.

[Padawan]

http://ru.wikipedia.org/wiki/Годограф

[AKM]

Ну, стало быть, вместо длины дуги годографа

$$r_{\text{годограф}}(t) =r'(t)= \vec{i} + 2t\vec{j} + 3t^2\vec{k}$$

искали длину дуги исходной кривой.