Из какой области теорема?

[Sasha2]

Вот в книге Лаврентьева и Шабата по ТФКП приводится такая теорема:

Если функция $w=f(z)$ непрерывна в области $D$ и реализует взаимно однозначное отображение этой облвсти на некоторое множество $E$ в плоскости $w$, то тогда $E$ также является областью и обратная функция $z=f^{-1}(w)$ будет непрерывной в $E$.

Дело в том, что доказательство этой теоремы не приводится. Поэтому хотелось бы узнать. Вот эта теорема относится чисто к ТФКП или же это общее утверждение, которое справедливо для (ну не только для ТФКП) объектов, обладающих опредленными (подозреваю) топологическими свойствами.

P.S. Под областью здесь (согласно Лаврентьеву и Шабату) понимается открытое связное (плоское???) множество.

И еще, а где бы можно прочесть доказательство этой теоремы?

[Circiter]

А мне это утверждение кажется сомнительным. Обращение непрерывной биекции необязательно непрерывно... Просто, такая "двусторонне-непрерывная" биекция суть гомеоморфизм ж ведь, но, как известно, не всякая биекция есть гомеоморфизм... :)

-- Сб май 29, 2010 07:38:33 --

Вот если бы рассматривалось отображение некоторой области прямо на себя... Тогда наверное можно было бы без труда доказать...

[Sasha2]

Трудно поверить, что такие уважаемые люди, как Лаврентьев и Шабат, говорят неправду.

Страница 21.
Точное название книги: "Методы теории функций комплексного переменного".

[paha]

$\forall z\in D$ $\exists a>0$ : $D_a(z)=\{z'\in{\mathbb C}:|z-z'|\le a\}\subset D$ (регулярность ${\mathbb C}$ и открытость $D$)

более того, $D_a(z)$ -- компакт (локальная компактность ${\mathbb C}$)

поэтому ограничение $f|_{D_a(z)}$ -- гомеоморфизм на свой образ (непрерывная биекция компакта на хаусдорфово т.п.)

поэтому $f^{-1}$ непрерывна в каждой точке

[Sasha2]

Так все же, это свойство ТФКП или топологии? И еще, а есть ли простое доказательство этой теоремы на уровне 8-9 класса средней школы?

[paha]

Sasha2 в сообщении #325127 писал(а):

Так все же, это свойство ТФКП или топологии?

я специально в скобочках обосновал в топологических терминах

все-таки ТФКП начинается с того, что $z=x+iy$

[Padawan]

paha в сообщении #325125 писал(а):

$\forall z\in D$ $\exists a>0$ : $D_a(z)=\{z'\in{\mathbb C}:|z-z'|\le a\}\subset D$ (регулярность ${\mathbb C}$ и открытость $D$)

более того, $D_a(z)$ -- компакт (локальная компактность ${\mathbb C}$)

поэтому ограничение $f|_{D_a(z)}$ -- гомеоморфизм на свой образ (непрерывная биекция компакта на хаусдорфово т.п.)

поэтому $f^{-1}$ непрерывна в каждой точке

Нет, не так просто. Почему точка $z$ является внутренней для множества $f(D_a(z))$? Тут надо непосредственно применить теорему Брауэра об инвариантности области. Это непростая топологическая теорема и использует свойства $\mathbb{R}^n$. Тут на форуме несколько раз уже обсуждалось.

-- Сб май 29, 2010 09:47:35 --

http://dxdy.ru/topic29779.html
http://dxdy.ru/topic24150.html

[paha]

Padawan в сообщении #325134 писал(а):

Почему точка $a$ является

вообще-то, $a$ -- это число:) Но я понял вопрос
Здесь достаточно показать, что кольцо не гомеоморфно диску... руками

[Padawan]

(Оффтоп)

paha в сообщении #325145 писал(а):

Padawan в сообщении #325134 писал(а):

Почему точка $a$ является

вообще-то, $a$ -- это число:)

Исправил

paha в сообщении #325145 писал(а):

Здесь достаточно показать, что кольцо не гомеоморфно диску... руками

И как это поможет?