Топология. Компоненты связности в пространстве матриц

[Andreas]

Что можно сделать с таким?

Найти компоненты связности и компоненты линейной связности

$O(n, R) = \{A|A^tA=E\}$
$\mathop{\rm Symm}(n, R) = \{A|A^t = A\}$

Дело происходит в пространстве матриц $n\times n$

Заранее спасибо!

[paha]

Вспомните в каком случае связность и линейная связность это одно и то же

Может быть, Вам поможет то, что ортогональные матрицы образуют группу по умножению, а симметричные -- по сложению:)

[Andreas]

Спасибо!

[мат-ламер]

paha в сообщении #324957 писал(а):

Вспомните в каком случае связность и линейная связность это одно и то же

Может быть, Вам поможет то, что ортогональные матрицы образуют группу по умножению, а симметричные -- по сложению:)

Может поподробнее объясните. Я слышал, что в первом примере две компоненты связности, но выводилось это из того, что определитель - непрерывная функция. Соответственно - две компоненты - с определителем +1 и -1.

-- Пт май 28, 2010 20:46:14 --

Нашёл - тут только что обсуждалось http://dxdy.ru/topic33839.html

[id]

Ну, непрерывный образ связного мн-ва связен, это понятно. Дет непрерывен. Вот только здесь как бы не в обратную сторону требовалась аргументация, хм?

[paha]

мат-ламер в сообщении #324990 писал(а):

Я слышал, что в первом примере две компоненты связности

Фиксируем к.-л. ортонормированный базис. В этом случае возникает взаимно-однозначное между $O_n$ и множеством всех ортонормированных базисов (единичной матрице соответствует тот самый, фиксированный). Остается показать, что два одинаково ориентированных базиса могут быть переведены друг в друга непрерывно

[ewert]

paha в сообщении #325131 писал(а):

Остается показать, что два одинаково ориентированных базиса могут быть переведены друг в друга непрерывно

Да; а как?... Я лично сказал бы, что последовательными вращениями (и тогда никаких базисов не нужно). А можно ли проще -- не знаю.

[paha]

ewert в сообщении #325143 писал(а):

Я лично сказал бы, что последовательными вращениями (и тогда никаких базисов не нужно)

разумеется... вот два базиса

вращением в плоскости, содержащей первые вектора, совмещаем их... и т.д. (не люблю матрицы)

"На пальцах"-то понятно, но можно и формулы написать

[мат-ламер]

Может удастся доказать (по индукции ?), что любую матрицу вращения в n-мерном простанстве (т.е. из $SO(n)$) можно представить в виде произведения элементарных матриц вращения (вокруг какой-либо оси). Это примерно соответствует тому, что написал ewert.

[ewert]

Ну на всякий случай. Известно, что любую матрицу можно представить как произведение ортогональной на треугольную, где ортогональная может быть получена в т.ч. и как произведение некоторого количества матриц Гивенса, т.е. элементарных вращений по только двум переменным каждое. (И вот это-то и нехорошо, что должно быть известно; но зато дальше уже все вполне очевидно.) Однако если матрица треугольна и одновременно ортогональна, то она -- диагональная с плюс-минус единичками на диагонали. От каждой лишней пары минусов можно избавиться также вращениями, и опять же вращением вывести оставшуюся (если она останется) минус единичку в угол. Наконец, каждое элементарное вращение очевидно получается из единичной матрицы непрерывным переходом.

Конечно, занудство, но зато все честно и без никаких базисов. Не люблю базисов.

[AKM]

StepanSidrov14,

предупреждение за неуместный офттопик (сообщение удалено).