Правило Рунге (вопрос)

[rar]

Правило Рунге:

$$y^{*}_{h}=\frac{2^ky_{h/2}-y_h}{2^k-1}+O(h^{k+1})$$

Оно же для схемы Эйлера первого порядка: $y^{*}_{h}=2y_{h/2}-y_n+O(h^{2})$

Что такое - $O(h^{2})$, и как с ним надо работать? Понять этого не могу.

[TOTAL]

rar в сообщении #324845 писал(а):

Что такое - $O(h^{2})$, и как с ним надо работать? Понять этого не могу.

Зачем с ним вообще работать?

[rar]

Просто, скажите, когда я делаю вычисления, то что надо делать с этим.

[TOTAL]

rar в сообщении #324849 писал(а):

Просто, скажите, когда я делаю вычисления, то что надо делать с этим.

Что хотите вычислить и как?

[rar]

TOTAL в сообщении #324852 писал(а):

rar в сообщении #324849 писал(а):

Просто, скажите, когда я делаю вычисления, то что надо делать с этим.

Что хотите вычислить и как?

В данном случае я хотел численно решить задачу Коши с помощью схемы Эйлера первого порядка: $y^{*}_{h}=2y_{h/2}-y_n+O(h^{2})$. Беру результаты на одном x: $y^{*}_{0,4}=2y_{0,2}-y_{0,4}+O(h^{2})=2\cdot 9,9184-9,89312+O(h^{2})$. Что дальше с этим $O(h^{2})$ делать я не знаю.

[TOTAL]

rar в сообщении #324853 писал(а):

$y^{*}_{h}=2y_{h/2}-y_n+O(h^{2})$.

Что такое $y^{*}_{h}$, $y_{h/2}$, $y_n$ ?

[rar]

TOTAL в сообщении #324855 писал(а):

rar в сообщении #324853 писал(а):

$y^{*}_{h}=2y_{h/2}-y_n+O(h^{2})$.

Что такое $y^{*}_{h}$, $y_{h/2}$, $y_n$ ?

$y^{*}_{h}$ - уточнённое значение
$y_{h/2}$ - значение на шаге сетки в два раза меньшего чем на этом $y_h$

Any questions else?

[TOTAL]

$y^{*}_{h}=2y_{h/2}-y_n$
$y^{*}_{h}-y=O(h^{2})$
Вот Вам правильная запись, которая означает, что уточнённое решение отличается от точного на величину $O(h^{2}),$ с которой делать ничего не надо

[rar]

Предыдущую запись я брал из одного старого учебника.

То есть, это как бы разность между действительным значением и полученным в результате вычисления (типа абсолютной погрешности)?

-- Пт май 28, 2010 14:52:27 --

Т.е в результате просто записывать: $y^{*}_{0,4}=6,987+O(0,4^2)$?

[TOTAL]

rar в сообщении #324862 писал(а):

Т.е в результате просто записывать: $y^{*}_{0,4}=6,987+O(0,4^2)$?

просто без ошибки записывать чему равно $y^{*}_{0,4}$

[rar]

Не понял. Что значит просто без ошибки записывать?

-- Пт май 28, 2010 15:07:24 --

Просто напишите примерчик как надо сделать правильно.


Спасибо.

[TOTAL]

$y^{*}_{0,4}=6,987$ - вот это с ошибкой записано.

[rar]

TOTAL в сообщении #324869 писал(а):

$y^{*}_{0,4}=6,987$ - вот это с ошибкой записано.

Это я от балды написал.

[ewert]

rar в сообщении #324845 писал(а):

Правило Рунге:

$$y^{*}_{h}=\frac{2^ky_{h/2}-y_h}{2^k-1}+O(h^{k+1})$$

Оно же для схемы Эйлера первого порядка: $y^{*}_{h}=2y_{h/2}-y_n+O(h^{2})$

Что такое - $O(h^{2})$, и как с ним надо работать? Понять этого не могу.

$O(h^{2})$ -- это локальная погрешность метода Эйлера. Из которой следует (хоть и далеко-далеко не сразу, но сейчас речь не об этом, поскольку неформально это переход можно считать очевидным) глобальная погрешность $O(h^{1})$. Вот последняя-то и фигурирует в правиле Рунге. Т.е. в данном случае $k$ равно просто единичке (хотя, между прочим, Ваша замечательная формула -- вовсе не Рунге, а Ричардсон).

Другое дело, что для самого правила Рунге формально нужна не просто оценка, но асимптотика (т.е. та погрешность должна не просто не превосходить степени шага, но быть примерно пропорциональной той степени при достаточно малых шагах). Ну это обычно эмпирически выполняется, хотя формально-буквоедски доказывается крайне редко.