Задачи на сходимость рядов и интегралов

[sprite]

1. Найти область сходимости, исследовать на равномерную сходимость и на дифференцируемость:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln x} {1-2^n+n^2}$$

2. Найти область сходимости, исследовать на равномерную сходимость и на непрерывность:

$$\int\limits_{0}^{0,4}\frac{dx} {\sqrt x {|\ln x|}^\alpha}$$

В первой задаче определил, что область сходимости от 0 до бесконечности. Равномерная сходимость, скорее всего, доказывается по признаку Дирихле, но не знаю точно как доказывать.
Во второй задаче равномерная сходимость доказывается либо по критерию Коши, либо по определению.

[gris]

В первой задаче от нуля невключительно, надеюсь. А насчёт равномерной сходимости не напрягает, что логарифм стремится с минус бесконечности при $x\to 0+$?

[sprite]

Конечно не включая нуль. А равномерной непрерывности нет на всей область сходимости по теореме о предельном переходе под знаком функционального ряда, зато, возможно, есть на любых ограниченных участках.

[Padawan]

В первой задаче равномерная сходимость на любом отрезке $[a,b]\subset (0,+\infty)$. Замечание gris'а в равной степени относится и к $x\to+\infty$.

Во второй задаче надо воспользоваться признаком Вейерштрасса равномерной сходимости.