Масса тела

[integral2009]

Тело $V$ задано ограничивающими его поверхностями. $\mu$ - плотность. Найти массу тела.

$\left \{ \begin {array}{I} x^2+y^2=1\\ x^2+y^2=2z\\ x=0 ( x \ge 0)\\ y=0 (y \ge 0)\\ \end{array} \right$

$\mu=10x$

===============
А $\mu$ - это поверхностная или объемная плотность?

Можно ли перейти в цилиндрическую систему координат? Правильно ли я сделал?

$\left \{ \begin {array}{I} x=r\cos \phi\\ y=r\sin \phi\\ z=z\\ \end{array} \right$

$|J|=r$

$$m=\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos \phi d\phi \int\limits_{0}^{1}r^2dr\int\limits_{0}^{1/2}dz= \Bigl.{\sin \phi}\Bigl|_{0}^{\pi/2}\cdot \Bigl.{\dfrac{r^3}{3}}\Bigl|_{0}^{1}\cdot \Bigl.{z}\Bigl|_{0}^{1/2}=1\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$$

[integral2009]

ой, еще это нужно на 10 умножить было)

[Cave]

Неправильно: у вас $r$ и $z$ меняются независимо, а это не так: например, если $z = 1/4$, то $r^2$ меняется от $1/2$ до $1$. Пределы интегрирования нужно поменять.

[integral2009]

Cave в сообщении #323333 писал(а):

Неправильно: у вас $r$ и $z$ меняются независимо, а это не так: например, если $z = 1/4$, то $r^2$ меняется от $1/2$ до $1$. Пределы интегрирования нужно поменять.

Спасибо!

$$m=10 \int\limits_{0}^{\pi/2}\cos \phi d\phi \int\limits_{0}^{1}r^2dr\int\limits_{0}^{r/2}dz= 10\cdot \Bigl.{\sin \phi}\Bigl|_{0}^{\pi/2}\cdot \int\limits_{0}^1\Bigl.{r^2\cdot z}\Bigl|_{z=0}^{z=r/2}dr=5\cdot \int\limits_{0}^1 {r^3}dr=5\cdot \Bigl.\dfrac{r^4}{4}\Bigl|_{0}^{1}=\dfrac{5}{4}=1,25$$

-- Пн май 24, 2010 14:43:28 --

А так - правильно?)))

[Cave]

Вновь мимо, $z$ не до $r/2$ меняется. Но уже близко. Нарисуйте картинку, посмотрите внимательнее.

[integral2009]

оО Нарисовал....
Но у меня все равно меняется до $r/2$

Спасибо!

А можно так?

$$m=10 \int\limits_{0}^{\pi/2}\cos \phi d\phi \int\limits_{0}^{1/2}dz \int\limits_{0}^{2z}r^2dr= 10\cdot \Bigl.{\sin \phi}\Bigl|_{0}^{\pi/2}\cdot \int\limits_0^{1/2}\Bigl.{\dfrac{r^3}{3}\Bigl|_{0}^{2z}dz =10\cdot\int\limits_0^{1/2} {\dfrac{8z^3}{3}=\dfrac{80}{3}\Bigl.{\dfrac{z^4}{4}\Bigl|_{0}^{1/2}=\dfrac{8\cdot 10}{3\cdot 4\cdot 16}=\dfrac{5}{12}$$

[Cave]

$\int\limits_{0}^{2z}r^2\,dr$ подразумевает, что $r$ меняется от $0$ до $2z$, а я вам в прошлом сообщении намекнул, что это не так.

[integral2009]

А почему это не так?, вот рисунок



-- Пн май 24, 2010 17:22:41 --

Хм, а может тут нужно было в сферическую систему переходить?!

[Cave]

Нет, цилиндрическая система координат - это правильная догадка. Рисунок правильный.
Откуда вообще берётся $2z$? Из уравнения $x^2 + y^2 = 2z$. Разве в левой части стоит $r$, и оно будет меняться до $2z$?

[integral2009]

Точно) Там стоит $r^2$ Да, ошибся, спасибо, что поправили!!!!

[Cave]

Так ответ-то какой правильный? :)
Кстати, в задании область неоднозначно оговорена: я в своём первом сообщении про одну подумал, а вы про другую, и оба правы. Области являются дополняющими другу друга в четверти кругового цилиндра высотой 1.

[integral2009]

У меня 2 ответа !!! $1$ и $2/3$!!

-- Пн май 24, 2010 22:18:18 --

$$m=10 \int\limits_{0}^{\pi/2}\cos \phi d\phi \int\limits_{0}^{1/2}dz \int\limits_{0}^{\sqrt{2z}}r^2dr= 10\cdot \Bigl.{\sin \phi}\Bigl|_{0}^{\pi/2}\cdot \int\limits_0^{1/2}\Bigl.{\dfrac{r^3}{3}\Bigl|_{0}^{\sqrt{2z}}dz =10\cdot\int\limits_0^{1/2} {\dfrac{2^{3/2}z^{3/2}}{z^3}{3}dz=\dfrac{10}{3}\Bigl.{\dfrac{z^{5/2}}{5/2}\Bigl|_{0}^{1/2}=\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}$$

-- Пн май 24, 2010 22:21:45 --

$$m=10 \int\limits_{0}^{\pi/2}\cos \phi d\phi \int\limits_{0}^{1}r^2dr\int\limits_{0}^{r^2/2}dz= 10\cdot \Bigl.{\sin \phi}\Bigl|_{0}^{\pi/2}\cdot \int\limits_{0}^1\Bigl.{r^2\cdot z}\Bigl|_{z=0}^{z=r^2/2}dr=10\cdot \int\limits_{0}^1 \dfrac{r^4}{2}dr=10\cdot \Bigl.\dfrac{r^5}{5}\Bigl|_{0}^{1}=1$$

[Cave]

Да, похоже на правду.

[integral2009]

Thank you!!!!!

И все же, почему два разных ответа получилось?!

[RIP]

integral2009 в сообщении #323632 писал(а):

И все же, почему два разных ответа получилось?!

Потому что Вы посчитали массу двух разных тел (дополняющих друг друга до четвертинки цилиндра).