Матан. I семестр. Интеграл с переменным верхним пределом.

[stribogaaa]

Необходимо доказать:
$\int_{0}^{cos^2(x)} arccos(\sqrt{t})dt + \int_{0}^{sin^2(x)} arcsin(\sqrt{t})dt = \frac{\pi }{4}$

Что бы это сделать, нужно посчитать производную от левой части равенства. Если производная окажется равна нулю, то уже все очевидно, и доказывать нечего. Скорее всего я не правильно считаю производную от интеграла с переменным верхним пределом.
Но как это сделать?!

Вроде делаю по лекциям, получается:
$arccos(| cos(x) |) + arcsin(| sin(x) |) = 0$
Я построил график, и вроде бы равенство не выполняется.....

[ShMaxG]

Это вы вычислили производную, если бы верхний предел был $x$. А там $\cos^2(x)$ и $\sin^2(x)$.

[stribogaaa]

ShMaxG в сообщении #323476 писал(а):

Это вы вычислили производную, если бы верхний предел был $x$. А там $\cos^2(x)$ и $\sin^2(x)$.

И как правильно посчитать производную??
Если бы я считал производную от $x$ то было бы
$( \int_{0}^{x} arccos(\sqrt{t})dt )' = arccos(\sqrt{x}) $

А я подставил Sin и Cos. Разве не так?!

-- Пн май 24, 2010 18:20:24 --

Может я забыл про производную сложности?? >_< если она там должна быть?!

[ShMaxG]

А это, кстати, не сложно получить.

$\[\begin{gathered} h\left( x \right) = \int\limits_0^{\varphi \left( x \right)} {f\left( t \right)dt} \Leftrightarrow h\left( y \right) = \int\limits_0^y {f\left( t \right)dt} ,y = \varphi \left( x \right) \hfill \\ \frac{{dh}} {{dx}} = \frac{{dh}} {{dy}}\frac{{dy}} {{dx}} = f\left( y \right)\varphi '\left( x \right) = f\left( {\varphi \left( x \right)} \right)\varphi '\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \]$

-- Пн май 24, 2010 18:24:16 --

К тому же - уточните, при каких икс равенство надо доказать. Мне кажется, что это имеет место только когда икс в первой или третей четвертях окружности находится.

-- Пн май 24, 2010 18:28:57 --

И еще. Для получения этой $\pi/4$ рекомендую подставлять $x=\pi/4$. И вспомнить, что арккосинус и арксинус в сумме дают $\pi/2$. Это чтобы не возиться с интегралами арккосинусов и пр.

[stribogaaa]

ShMaxG
Спасибо большое!!! Я так и думал что не хватает какой то сложности, но вот как это объяснить не мог понять

Если не сложно объясни поподробнее переход
$\frac{{dh}} {{dy}}\frac{{dy}} {{dx}} = f\left( y \right)\varphi '\left( x \right) $

[ShMaxG]

Для вычисления производной $\[\frac{{dh}} {{dy}}\] $ применяем формулу из ваших лекций. Плюс, $\[y = \varphi \left( x \right) \Rightarrow \frac{{dy}} {{dx}} = \varphi '\left( x \right)\] $.

[Toucan]

stribogaaa, красный цвет -- для модераторов. Выделение убрал.

[stribogaaa]

Да, спасибо, все понял, сейчас попробую все на бумаге изложить.
Просто в первый раз прибегал к манипуляции с дифференциалами, сам бы думаю не догадался.