Изоморфизмы (гильбертовы пространства)

[kkar]

Здравствуйте.
Никак не получается построить изоморфизм пространств, но легко получается сопряженно-линейный изоморфизм этих пространств. Можно ли, имея его (то есть сопр.-лин. изоморфизм) доказать, что есть и обычный изоморфизм?

[Хорхе]

Каких именно пространств? А то изоморфизм - понятие растяжимое...

[kkar]

Гильбертова и к нему сопряженного.

[Хорхе]

А почему Вы не спросили здесь?

Короче, Вам надо построить сопряженно-линейный автоморфизм гильбертова пространства $\varphi\colon X\to X$. (Тогда, если $\psi\colon X\to X^*$ -- сопряженно-линейный изоморфизм, то $\psi\circ \varphi$ -- обычный изоморфизм). Вообще я знаю, как это сделать, только в сепарабельном случае (в спрошенном Вами ранее случае $l^2$). Это очень легко, и Вы сделаете это без труда (ключевое слово тут сепарабельный).

Кстати, если внезапно Ваш вопрос про гильбертовы пространства над $\mathbb R$, то вообще не надо мучиться.

[ewert]

Хорхе в сообщении #323359 писал(а):

Вообще я знаю, как это сделать, только в сепарабельном случае

А зачем сепарабельность? Для теоремы Рисса она не нужна.

[Хорхе]

ewert в сообщении #323361 писал(а):

А зачем сепарабельность? Для теоремы Рисса она не нужна.

А я ничего не говорил о теореме Рисса. Я говорил о построении сопряженно-линейного автоморфизма.

[Padawan]

Так гильбертовы пространства с точностью до изоморфизма определяются своей гильбертовой размерностью. А у $X$ и $X^*$ она совпадает, раз они сопряженно-изоморфны. Значит они и просто изоморфны. А как его конкретно построить, в смысле конструктивно, это вопрос.

[ewert]

Я честно скажу, что не знаю, что такое "гильбертова размерность".

Однако же есть тривиальный изоморфизм между пространством и сопряженным к нему. Да, полулинейный. Но ровно это в приложениях и надобно.

И истсчо можно пытаться сочинить изоморфизм между исходным пространством и его сопряженным Воистину линейный. И это даже иногда можно Но -- никому и никогда не нужно.