Проверьте неравенство.

[maxmatem]

Проверьте пожалуйста следующее неравенство: $\[ \sqrt {5x - x^2 } < x - 2\, \]$
вот моё решение.
данное уравнение равносильно вот такой системе $\[ \left\{ \begin{gathered} 5x - x^2 < \left( {x - 2} \right)^2 \hfill \\ \,5x - x^2 \geqslant 0 \hfill \\ x - 2\, \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$
потом преобразуем её немножко, и имеем $\[ \left\{ \begin{gathered} \left( {x - 4} \right)\left( {x - \frac{1} {2}} \right) > 0 \hfill \\ \,x\left( {x - 5} \right) \leqslant 0 \hfill \\ x\, \geqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$

теперь решим каждое неравенство системы в отдельности и потом пересечём их ответы
1.
$\[ \begin{gathered} \left( {x - 4} \right)\left( {x - \frac{1} {2}} \right) > 0 \hfill \\ x \in \left( { - \infty ;} \right.\frac{1} {2}\left. {} \right) \cup \left( {4;\infty } \right) \hfill \\ \end{gathered} \]$

2.
$\[ \begin{gathered} x\left( {x - 5} \right) \leqslant 0 \hfill \\ x \in \left[ {0;5} \right] \hfill \\ \end{gathered} \]$
3.
$\[ \begin{gathered} x\, \geqslant 2 \hfill \\ x \in \left[ {2;\infty \left. {} \right)} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]$
тогда решением будет
$\[ \left( {\left( { - \infty ;} \right.\frac{1} {2}\left. {} \right) \cup \left( {4;\infty } \right)} \right) \cap \left[ {2;\infty \left. {} \right) \cap \left[ {0;5} \right] = 5} \right. \]$

ответ: $\[ x\, = 5 \]$

[Sasha2]

Убедитесь вручную, например, что 4.5 также удовлетворяет Вашему неравенству, а в ответе его у Вас нет.

[maxmatem]

так где ошибка?

[AKM]

maxmatem в сообщении #322891 писал(а):

тогда решением будет
$\[ \left( {\left( { - \infty ;} \right.\frac{1} {2}\left. {} \right) \cup \left( {4;\infty } \right)} \right) \cap \left[ {2;\infty \left. {} \right) \cap \left[ {0;5} \right] = 5} \right. \]$

ответ: $\[ x\, = 5 \]$

Ну почему? Ну почему 4.2 не подходит?
Проверять было легко. Так всё хорошо и подробно расписано! Типа даже мерси.

[Sasha2]

Ошибка в области опделения, которая равна $[2, 5]$

[maxmatem]

я минус вынес и домножил на него вот знак и поменялся!
AKM
скажите где у меня ошибка?
в силу пунктов 2, 3 у меня область определения и есть $[2, 5]$

[AKM]

maxmatem в сообщении #322891 писал(а):

тогда решением будет
$\[ \left( {\left( { - \infty ;} \right.\frac{1} {2}\left. {} \right) \cup \left( {4;\infty } \right)} \right) \cap \left[ {2;\infty \left. {} \right) \cap \left[ {0;5} \right] \text{\color{magenta}= 5???}} \right. \]$

ответ: $\[ x\, = 5 \]$

Ну почему Вы из первой (правильной) строчки оставили только $x=5$? Ведь туда вписывается любое $4<x\le 5$. Вписываются 4.1, 4.2, 4.000000001, 4.9, ...
Может, Вам нужны были только целочисленные решения, и Вы забыли об этом нам рассказать?

[maxmatem]

да,я неправ! ответ $(4;5]$

[AKM]

Ещё мне кажется, что Вы усложняете себе работу. Вы пишете конструкции типа $ \[ ... \]$. Я много писал в ТеХе, но \[ и \] никогда не ипользовал. Если мне не изменяет память, это что-то устаревшее, но не отменённое. Предлагаю переключиться на $ ... $ для формулы в строке, и на

$$ ... $$

для выделенной формулы.

[maxmatem]

я через math type формулы набираю!

[AKM]

А... ну набирайте. Я часто слышал это слово, но не знаю, что это такое...