Свойства множества (конечное, беконечное, открытое и т.д.)

[easy]

Изучить свойства множества:
$D=((x_1,x_2):1\le x_1^2+x_2-1 \le4)$
(конечное, бесконечное, ограниченное, неограниченное, открытое, замкнутое, связное, несвязное) в метрическом пространстве $R^2, d(x,y)=||x-y||_1$.
Я построила данное множество, неограниченность и бесконечность вроде доказала. Осталось: открытое, замкнутое, связное, несвязное. Преподаватель просит все подробно расписать по определению, но я, к сожалению, не особо понимаю как это сделать.

[id]

Топология, задаваемая этой метрикой, будет совпадать с обычной топологией в $\mathbb R^2$. Можно проверить, в произвольной окрестности каждой точки указав некоторую стандартную и наоборот.

Замкнуто, берем сходящуюся последовательность точек $D$ ну и в "нестрогих неравенствах можно перейти к пределу".

Связное, потому что есть непрерывный образ связной полосы $I := \{ (x_1,x_2): x_1 \in \mathbb R, 0 \leqslant x_2 \leqslant 3\}$ при непрерывном отображении $f((x_1,x_2)) = (x_1, 2+ x_2 - x_1^2)$. Непрерывный образ связного мн-ва связен.

[Профессор Снэйп]

easy в сообщении #322650 писал(а):

$d(x,y)=||x-y||_1$.

Перечисляются только топологические свойства, а в $\mathbb{R}^n$ все нормы эквивалентны, так что непонятно, зачем эта единичка в индексе после нормы.

Правда ограниченность не совсем топологическое свойство. Но тоже от выбора нормы не зависит.

[easy]

Спасибо большое за Ваши ответы)
Но мне нужно было сделать задание согласно определениям из лекций преподавателя, а они отличаются от того что вы писали...
К счастью, сама уже разобралась) И все сделала)
Тем не менее, еще раз спасибо) Мир не без добрых людей))