Задача: топология плоских компактов с геометрией.

[Ales]

Как выглядят двумерные компактные многообразия на которых есть:
1. геометрия с постоянной положительной кривизной - локальная геометрия Римана на сфере
2. геометрия с постоянной нулевой кривизной - локальная Евклидова геометрия
3. геометрия с постоянной отрицательной кривизной - локальная геометрия Лобачевского

[paha]

используйте теорему Гаусса-Бонне и классификацию поверхностей

[Ales]

paha в сообщении #322770 писал(а):

используйте теорему Гаусса-Бонне и классификацию поверхностей

Я сам знаю как решать. Предлагаю другим решить, если интересно.
Наверное, это известный факт.
Сомневаюсь что теорема Гаусса-Боне поможет, хотя у каждого свой путь решения.

[Padawan]

paha
Во втором случае эйлерова характеристика $\chi=0$. А в первом и третьем?

-- Сб май 22, 2010 18:05:58 --

Что-то мне подсказывает, что третий случай невозможен...

[Ales]

Padawan в сообщении #322778 писал(а):

Что-то мне подсказывает, что третий случай невозможен...

Возможен, но не вложенный в $\mathbb R^3$.

[paha]

Padawan в сообщении #322778 писал(а):

paha
Во втором случае эйлерова характеристика $\chi=0$. А в первом и третьем?

положительная или отрицательная)))

Ales в сообщении #322777 писал(а):

Сомневаюсь что теорема Гаусса-Боне поможет

$K\cdot S=2\pi\chi$ Не то, что поможет, а просто-таки об этом она и говорит

В случае, когда край есть, его можно считать вполне геодезическим

-- Сб май 22, 2010 19:15:33 --

Padawan в сообщении #322778 писал(а):

Что-то мне подсказывает, что третий случай невозможен...

возьмите крендель)))

-- Сб май 22, 2010 19:16:58 --

Ales в сообщении #322781 писал(а):

Возможен, но не вложенный в $\mathbb R^3$

крендель прекрасно сидит в $\mathbb R^3$

[Padawan]

paha
И на нем постоянна отрицательная кривизна? Не верю!

[Ales]

paha в сообщении #322782 писал(а):

Не то, что поможет, а просто-таки об этом она и говорит

В случае, когда край есть, его можно считать вполне геодезическим

Без края.

Я прочитал что такое теорем Гаусса-Боне, в моем словаре она была просто для случая без ручек.
Поэтому я и подумал что она не помогает. Конечно, если с характеристикой, то помогает.

[paha]

Padawan в сообщении #322787 писал(а):

paha
И на нем постоянна отрицательная кривизна? Не верю!

возьмите на плоскости лобачевского правильный восьмиугольник с геодезическими сторонами и суммой углов, равной $2\pi$ (все такие восьмиугольники изометричны)

склейте противоположные стороны друг с другом с соблюдением ориентации

то, что получится -- и есть крендель (1-4+1=-2)

Разумеется, если Вы его посадите в ${\mathbb R}^3$, то индуцированная метрика не та, которая описана выше

-- Сб май 22, 2010 19:31:42 --

paha в сообщении #322782 писал(а):

Ales в сообщении #322781 писал(а):
Возможен, но не вложенный в $\mathbb R^3$

крендель прекрасно сидит в $\mathbb R^3$

конечно, не изометрично там сидит...

-- Сб май 22, 2010 19:36:24 --

Padawan в сообщении #322793 писал(а):

По-моему нельзя так просто склеить, не нарушив метрику. Почему из квадрата не склеить?

в плоскости Лобачевского нет квадрата с суммой углов $2\pi$

[Padawan]

paha
А шестиугольник?

[paha]

Padawan в сообщении #322796 писал(а):

А шестиугольник?

ну, подумайте))) есть, конечно... только результат неориентируемым получится: связная сумма тора и проективной плоскости $\chi=1-3+1=-1$


м.б. я напутал слегка с правилами склейки, но это можно в книжках уточнить

[Ales]

Я сам решил только для ориентируемых. Выпало из головы что еще есть неориентируемые.

[paha]

Ales в сообщении #322913 писал(а):

Я сам решил только для ориентируемых. Выпало из головы что еще есть неориентируемые.

а это пофигу... двулистное накрытие рулит -- метрика всегда поднимается, а эйлерова характеристика умножается на 2, знак ее не меняется)

[Ales]

Ответ такой:
компакт с локальной геометрией Лобачевского может иметь сколько угодно ручек, но не меньше двух.
Евклидова - тор, сфера - только сфера.

Я собирал компакты отрицательной кривизны из правильных пятиугольников с прямым углом.