геометрия Лобачевского и геодезические

[terminator-II]

Наверняка это очень глупый вопрос.

На стандартной плоскости $\mathbb{R}^2_x$ с координатами $x$ рассмотрим круг
$B=\{(x_1,x_2)\mid x_1^2+x_2^2<1\}$
Хорды этого круга удовлетворяют всем аксиомам, которым должны удовлетворять прямые геометрии Лобачевского. Это одна из стандартных моделей оной геометрии. Введем в круге $B$ метрику $g_{ij}=\delta_{ij}$. Очевидно, эти хорды являются геодезическими данной метрики. Кривизна равна нулю. В каком смысле тогда понимать "кривизна плоскости Лобачевского равна -1"?

[Padawan]

Это называется интерпретация Клейна. Там метрика не такая, а какая-то "проективная метрика". Движения в этой метрике -- проективные преобразования плоскости, оставляющие неподвижными окружность. Геодезические - хорды. Интересно, метрики разные, а геодезические одинаковые.

[paha]

terminator-II в сообщении #322745 писал(а):

Очевидно, эти хорды являются геодезическими данной метрики.

Геодезическая линия -- не очень корректное словосочетание. Правильнее говорить геодезическая кривая, а геодезические кривые в этих метриках разные... Поясню: если ${\bf r}(t)$ -- геодезическая, то ${\bf r}(t^3)$ вообще говоря нет. Линия та же, а кривые разные

В метрике Кляйна хорда проходится за бесконечное время (геодезическая полнота), а в евклидовой -- за конечное

[Ales]

Да, точно, прямая ведь продолжается бесконечно,
а если ввести евклидову метрику то хорды будут конечны по длине.