2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 геометрия Лобачевского и геодезические
Сообщение22.05.2010, 16:08 
Наверняка это очень глупый вопрос.

На стандартной плоскости $\mathbb{R}^2_x$ с координатами $x$ рассмотрим круг
$B=\{(x_1,x_2)\mid x_1^2+x_2^2<1\}$
Хорды этого круга удовлетворяют всем аксиомам, которым должны удовлетворять прямые геометрии Лобачевского. Это одна из стандартных моделей оной геометрии. Введем в круге $B$ метрику $g_{ij}=\delta_{ij}$. Очевидно, эти хорды являются геодезическими данной метрики. Кривизна равна нулю. В каком смысле тогда понимать "кривизна плоскости Лобачевского равна -1"?

 
 
 
 Re: геометрия Лобачевского
Сообщение22.05.2010, 17:19 
Это называется интерпретация Клейна. Там метрика не такая, а какая-то "проективная метрика". Движения в этой метрике -- проективные преобразования плоскости, оставляющие неподвижными окружность. Геодезические - хорды. Интересно, метрики разные, а геодезические одинаковые.

 
 
 
 Re: геометрия Лобачевского
Сообщение22.05.2010, 17:30 
Аватара пользователя
terminator-II в сообщении #322745 писал(а):
Очевидно, эти хорды являются геодезическими данной метрики.

Геодезическая линия -- не очень корректное словосочетание. Правильнее говорить геодезическая кривая, а геодезические кривые в этих метриках разные... Поясню: если ${\bf r}(t)$ -- геодезическая, то ${\bf r}(t^3)$ вообще говоря нет. Линия та же, а кривые разные

В метрике Кляйна хорда проходится за бесконечное время (геодезическая полнота), а в евклидовой -- за конечное

 
 
 
 Re: геометрия Лобачевского
Сообщение22.05.2010, 17:35 
Да, точно, прямая ведь продолжается бесконечно,
а если ввести евклидову метрику то хорды будут конечны по длине.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group