Интегралы, помогите разобраться пжл

[Qtj]

Здравствуйте!

Только начинаю самостаятельно разбираться с Высшей Математикой. Вопрос по предмету задать не кому, по спец. литературе во всем не разобраться. Есть выход в интернет. Попробую задать Вам свой вопрос, может поможете?

Если кому не лень и есть немного времени, прошу помочь с решением 2х интегралов. Дошел до них при решении задач, а посчитать не могу. Не хватает опыта.

$\int_0^1 {\sqrt {2^x } } e^{3x} \sqrt {1 + 2^{2x} \ln ^2 2} dx$
и
$\int_0^{\pi /2} {\sqrt {1 - \sin ^2 x} } \sin x\sqrt {1 + \cos ^2 x} dx$

Если не трудно, то хотя бы ход решения. С арифметикой думаю сам смогу справиться.

Заранее спасибо!

[незваный гость]

Первый интеграл уж больно мудрен.

Второй берется подстановкой $u = \cos(x)$, потом можно и упростить $v = u^2$.

P.S. Вы забыли \ у интеграла, правильно \int: $\int$

[незваный гость]

Первый интеграл тяжко. Я нашел его выражение через трехэтажные специальные функции, точнее, через комплексную бета-функцию.

$\frac12(ln2)^{-\frac32(2/\ln2+1)}{\rm i}^{-\frac32(2/\ln2-1)}\left({\rm B}(-\ln^22,\frac{6+\ln2}{4\ln2},\frac32) - {\rm B}(-4\ln^22,\frac{6+\ln2}{4\ln2},\frac32)\right)$

Примерно $12.634988710509699777$.

Да не устрашит это Вас на Вашем нелегком пути

[Qtj]

По воторой задаче:
Для того чтобы осуществить подстановку $u = \cos (x)$
нужно, чтобы в уравнении были только cos(x).

Если я рассуждаю правильно, то преобразую $\sqrt {1 - \sin ^2 (x)}$ в cos(x).

Каким можно преобразовать sin(x) эффективней для данной задачи?

Если я рассждуаю не правильно, если не трудно, поправьте меня.

Спасибо за помощь!

P.s. спасибо за исправление ошибки в теге math, первый раз с ним столкнулся

[Qtj]

По первой задаче:
Огромное спасибо за помощь в вычислении. Думаю такой ответ не должен был получиться и я скорей всего ошибся, в решении задачи до того, как получился данный интеграл. Буду разбираться.

По воторой задаче:
Для того чтобы осуществить подстановку $u = \cos (x)$
нужно, чтобы в уравнении были только cos(x).

Если я рассуждаю правильно, то преобразую $\sqrt {1 - \sin ^2 (x)}$ в cos(x).

Каким можно преобразовать sin(x) эффективней для данной задачи?

Если я рассждуаю не правильно, если не трудно, поправьте меня.

Спасибо за помощь!

P.s. спасибо за исправление ошибки в теге math, первый раз с ним столкнулся

[незваный гость]

А его ($\sin x$) не надо преобразовывать, он уйдет под дифференциал.

Вообще говоря, для того, чтобы осуществить подстановку Вы формально решаете уравнение $ \cos x = u$, получаете ответ (в данном случае, $ x = \arccos u$) и подставляете его, попутно упрощая получившееся выражение. (Например, $\sin \arccos x = \sqrt{1-x^2}$, и т.п.)

[Qtj]

незваный гость писал(а):

:evil:
А его ($\sin x$) не надо преобразовывать, он уйдет под дифференциал.

Вообще говоря, для того, чтобы осуществить подстановку Вы формально решаете уравнение $ \cos x = u$, получаете ответ (в данном случае, $ x = \arccos u$) и подставляете его, попутно упрощая получившееся выражение. (Например, $\sin \arccos x = \sqrt{1-x^2}$, и т.п.)

Огромное спасибо, разобрался. Очень признателен!