Доказательство

[vasyakk]

Помогите пожалуйста доказать, что

$$\int_{0}^{\sqrt2\pi} sin(x^2) dx>0$$

Я уперся в то, что надо доказать

$$\int_{0}^{\pi} \frac {sin(t)} {\sqrt{t}} dx+\int_{\pi}^{2\pi} \frac {sin(t)} {\sqrt{t}} dx>0$$

Как мне последнее доказать? Мне тупо знаний не хватает, но кажется, это уже не так сложно.

[Padawan]

А приближенно вычислить?

[TOTAL]

Верхний предел чему равен?

[vasyakk]

Padawan в сообщении #321840 писал(а):

А приближенно вычислить?

Мне кажется, если задание - "доказать", то приближенно вычислить здесь не прокатит. Или я не прав?
Верхний предел - sqrt(2)*pi

-- Чт май 20, 2010 14:37:10 --

Вот график, если поможет:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... +%28x*x%29

-- Чт май 20, 2010 14:38:24 --

Если посмотреть на график, то видно, что надо доказать, что площадь первого горба больше, чем площадь первой впадины и т.д. Вот это я и не могу доказать.

[ИСН]

Ещё раз: точно ли такой верхний предел?
Не то чтобы это имело значение, учитывая, что неравенство верно при любом положительном верхнем пределе, но - - -

[TOTAL]

vasyakk в сообщении #321839 писал(а):

Помогите пожалуйста доказать, что

$$\int_{0}^{\sqrt2\pi} sin(x^2) dx>0$$

Я уперся в то, что надо доказать

$$\int_{0}^{\pi} \frac {sin(t)} {\sqrt{t}} dx+\int_{\pi}^{2\pi} \frac {sin(t)} {\sqrt{t}} dx>0$$

Объясните, как уперлись.

[vasyakk]

Но если сделать замену (x^2)=t, то получим
$$\int_{0}^{2\pi^2}\frac {sint} {2sqrtt}dt

-- Чт май 20, 2010 14:43:26 --

и вот такой вот график
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... 2*sqrtt%29

-- Чт май 20, 2010 14:43:47 --

Верхний предел точно такой

-- Чт май 20, 2010 14:45:25 --

И вот тогда остается доказать, что интеграл от 0 до 2Пи будет положительным, а так же от 2Пи до 4Пи и от 4Пи до 6Пи

[TOTAL]

Во втором интеграле сделайте замену переменной так, чтобы пределы интегрирования были как у первого интеграла.

[vasyakk]

Вооот. Я знал, что надо так сделать, а как именно - не знаю. Объясните пожалуйста.

-- Чт май 20, 2010 14:49:16 --

Мои рассуждения верны?

[ИСН]

Квадрат заменить на новую переменную - это пожалуйста, а линейный сдвиг не осилите?
(Да, верны.)

[vasyakk]

Получится

$\int_{0}^{\pi}\frac {sin(t+\pi)} {\sqrt(t+\pi)}$?

[ИСН]

Один студент © тоже всё пристраивал корень к формуле вот так, тяп-ляп. И так понятно - говорит - где он там кончается. Но окружающие почему-то на него обижались и донимали идиотскими вопросами. А потом как-то раз попалась одна высоченная формула, с самого верха свалился плохо привинченный корень и как даст ему по голове!

[vasyakk]

Я просто не нашел, как здесь нарисовать корень поконкретнее, прошу прощения.

-- Чт май 20, 2010 15:04:44 --

Сдвиг-то я верно сделал?

-- Чт май 20, 2010 15:13:16 --

Если верно, то получим
$\int_{0}^{\pi}\frac{sint(\sqrt{t+\pi}-\sqrt{t})}{\sqrt{t^2+\pi t}}$

-- Чт май 20, 2010 15:14:29 --

Получилось сделать длинный корень :)
И как же теперь доказать, что он > 0?

[Sasha2]

Просто на промежутке $[0, \pi]$ подгоните под синусоиду треугольник с вершинами $(0, 0), (0, \pi)$ и $(\frac{\pi}{2}, 1)$.
На промежутке $[\pi, 2\pi]$ действуя точно таким же образом проведите две касательные к сирусоиде в точках $\pi$ и $2\pi$. Найдите третью вершину треугольника описанного вокруг этой волны синусоиды, а затем используйте линейные функции вместо синуса.

[ИСН]

Sasha2, stand back, тут совсем другое.
vasyakk, банан большой, а кожура ещё больше. Трудно ли сравнить два корня - вон там, где разность?