Вторая производная

[clerk]

Сразу скажу, что мои знания математики не далеко ушли от школьных, поэтому вопрос может и глупый, но мне хотелось бы разобраться в следующем.
Допустим у нас есть какая-то функция, например $y=x^2$. Чтобы найти ее производную нужно в данной точке нужно рассмотреть ее значение в этой точке, а также в той, что отстоит от данной на бесконечно малое расстояние $dx$. Таким образом мы найдем насколько изменяется значение функции при бесконечно малом изменении (приращении) ее аргумента. Теперь разделив одно на другое мы найдем производную, т.е скорость роста функции в данной точке. Это так я понимаю, что такое производная. Если в этом есть грубые ошибки, можно дальше не читать и указать мне на них, наверное вопрос отпадет сам собой. Но если это более менее правильно, тогда прошу объяснить мне кое-что про вторую и последующие производные.
Чтобы найти вторую производную нам нужно рассмотреть изменение приращения функции, т.е. насколько быстрее или медленнее в этой точке растет функция по сравнению... А вот дальше я не очень понимаю. Мы вроде как должны рассмотреть точку отстоящую от данной слева на расстояние $dx$, затем найти производную в той точке, потом в данной, а дальше вычесть первую производную из второй и узнать приращение скорости. Но почему мы потом делим полученный результат на $dx^2$? Ведь отрезок, на котором мы рассматриваем изменения функции равен $2dx$. И откуда отсчитывается отрезок $dx^2$?

[ИСН]

Мы не делим полученный результат на $dx^2$.
(До этого места всё правильно.)

[gris]

Ваши рассуждения вполне подходят для хороших функций и даже полезны для понимания, что такое производная. Её можно представлять себе как скорость изменения функции в точке. Вторая производная - это ускорение, ну и так далее - третья это скорость изменения ускорения. Стоит сказать, однако, что такое механистическое представление годится для хороших, гладких функций. Производная равна не просто отношению, а пределу отношения, хотя Вы правильно понимаете суть дела.
Выши попытки приближённо посчитать производную по нескольким равноотстоящим точкам - это разностные схемы. Есть разные способы считать производные по значениям функции в отдельных точках. Пока скажу, почему "делится на $(dx)^2$",. Первый раз мы делим на $(dx)$, хотя лучше писать на $h$ -шаг сетки, при нахождении первой производной, второй раз - при нахождении производной от производной. То есть в итоге получается
$y''(x)\approx\dfrac{y'(x+h)-y'(x)}{h}\approx\dfrac{\dfrac{y(x+h)-y(x)}{h}-\dfrac{y(x)-y(x-h)}{h}}{h}=\dfrac{y(x-h)-2y(x)+y(x+h)}{h^2}$
А с $dx$ поосторожнее. Почитайте про строгое определение производной, про $dx, \Delta x$, про предельный переход.

[clerk]

Про деление на $(dx^2)$ было, например, в "Фейнмановских лекциях по физике" в объяснении скорости, как производной, хотя там, конечно, как и на Википедии это сокращение выражения $\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$. Мне казалось, что это и значит деление на $(dx^2)$.
Но в любом случае, даже если говорить о бесконечно малом шаге сетки (так ведь корректно говорить?) $h$, я понимаю, почему верно то, что в знаменателе стоит $h^2$, т.е. почему в результате преобразований получается так, а не иначе. Но не вижу в нем такого же, неверное геометрического, смысла, как в первой производной. Получается, что мы рассматриваем предел отношения изменения приращения функции к тому, смысл чего мне и не ясен, за исключением того, что оно само бесконечно мало по сравнению с бесконечно малым приращением аргумента.

[shtutser]

я не очень тоже понимаю в математике, но мы действительно не делим на $dx^2$ а просто так обозначаем. В формуле $f^'(x)=df/dx$ $df$ - это не все приращение функции и вовсе даже не маленькое В данной формуле $dx$ -это дифференциал независимой переменной и вообще может быть каким-угодно (не обязательно даже маленьким), а $df$ - это дифференциал дифференцируемой функцией - линейная относительно $dx$ часть полного приращения и тоже может быть совсем и не маленькой. просто так получается, что приращение дифференцируемой функции в точке при приращении (произвольном) $\Delta$x=dx$ можно представить в виде линейной части и некоторого остатка и эта линейна часть равна $f'(x)$\Delta$x$
а вторая производная - это производная первой производно и усе. и если уж записывать по аналогии с первой производной, то надо вспомнить ряд Тейлора, отбросить хвост и получить ($\Delta$y$ и $\Delta$x$ почти какие - угодно):$\Delta$y=f^'(x)$\Delta$x+1/2*f^''(x)$\Delta$x^2$+еще кое что...

Тогда $f^''(x)=2($\Delta$y-f^'(x)$\Delta$x)/$\Delta$x^2$
Если я какую-то ерунду говорю вы сразу скажите, чтобы я не путал человека...