Элементы теории чисел

[Marina]

Помогите, пожалуйста, решить уравнение в целых числах:$7x-4y=107$.
Выразила $x$ через $y$:$x=\frac {107+4y}{7}$. Mетодом подстановки нашла несколько значений:
$y=10; x=21$,
$y=17; x=25$,
$y=-25; x=1$...
Но думаю, что перебирать весь числовой ряд бессмысленно и глупо. А другого решения пока не могу найти.

[Xaositect]

Marina писал(а):

$x=\frac {107+4y}{7}$.

Ну а что тут долго думать? $x$ будет целым числом тогда и только тогда, когда $107 + 4y$ делится на 7, т.е. $y\equiv ?(\mathrm{mod}\ 7)$, или, что то же самое, $y = 7k + ?$

[Marina]

А возможно другое решение данного уравнения т.к. сравнение по модулю я очень поняла.

[ИСН]

Можете перепробовать все остальные пары чисел, вдруг найдётся. Но это вряд ли.

[Руст]

Marina в сообщении #321367 писал(а):

Помогите, пожалуйста, решить уравнение в целых числах:$7x-4y=107$.
Выразила $x$ через $y$:$x=\frac {107+4y}{7}$. Mетодом подстановки нашла несколько значений:
$y=10; x=21$,
$y=17; x=25$,
$y=-25; x=1$...
Но думаю, что перебирать весь числовой ряд бессмысленно и глупо. А другого решения пока не могу найти.

$7(x-1)=4(y+25)\to x=4t+1,y=7t-25,t\in Z$.

[ewert]

Marina в сообщении #321375 писал(а):

А возможно другое решение данного уравнения

Это -- линейное уравнение, поэтому применим общий принцип: общее решение неоднородного уравнения есть его частное решение плюс общее решение однородного. Частное решение у Вас есть, даже не одно (хотя достаточно одного). А что является общим решением однородного, те $7x-4y0$?...

[Marina]

Где можно ознакомиться с методикой общего решения линейного уравнения с двумя неизвестными: $ax+by=c$, где $a,b,c$- целые числа. И когда уравнение данного вида имеет целочисленное решение?

[ИСН]

Методику чуть выше изложил ewert, а вопрос существования лучше попробуйте прояснить самостоятельно. Зуб даю, там должны фигурировать буквы НОД.

[Sasha2]

Ознакомиться можно в знаменитом учебнике "Алгебра" Кисилева, часть 2 в самом конце.

[Marina]

Sasha2
Спасибо за учебник. Разобралась.