Найти вероятность (геометрия)

[ozhigin]

На единичной окружности случайным образом поставлены 3 точки. Найти вероятность того, что при соединении их хордами получится:
а) остроугольный треугольник;
b) прямоугольный треугольник.

козе понятно, что надо пользоваться геометрическим определением, но больше никаких идей

[мат-ламер]

Вторая задача очевидная, а первая - интересная на тему "геометрические вероятности". Может Вы сначала сами попробуете что-нибудь сделать? Как по Вашему - можно ли в первой задаче одну из точек зафиксировать (для упрощения) ?

[ИСН]

Без ограничения общности считаем, что первая точка стоит на нулевом углу. Вторая, положим - на углу $\alpha$. Теперь: где должна быть третья точка, чтобы первый угол получился не тупым?

[ozhigin]

от $\alpha<\phi<\alpha+90$?

[ИСН]

Не совсем так. Нарисуйте. Станет яснее.

[ozhigin]

$180<\beta<180+\alpha$

[мат-ламер]

Допустим, одна из вершин треугольника находится в верхней точке окружности. Тогда вероятность того, что две другие будут располагаться левее (точнее их ордината будет меньше) чем первая, будет 1/4. Это равносильно тому, что левый нижний угол тупой. Поскольку все углы равносильны, то вероятность, что все углы острые - тоже 1/4.

[--mS--]

мат-ламер в сообщении #321193 писал(а):

Допустим, одна из вершин треугольника находится в верхней точке окружности. Тогда вероятность того, что две другие будут располагаться левее (точнее их ордината будет меньше) чем первая, будет 1/4. Это равносильно тому, что левый нижний угол тупой.

Это как это? Нарисовать можно? Что за соотношение углов "две другие будут располагаться левее"?

[мат-ламер]

Вопрос -

Цитата:

Это как это?

Ответ -

Цитата:

точнее их ордината будет меньше)

. (Ордината - это то, что по горизонтальной оси).

-- Вт май 18, 2010 21:19:45 --

Рисовать лень. Рассмотрим треугольник с вершинами (-3,-4), (-3,4), (0,5).

-- Вт май 18, 2010 21:23:10 --

А! Перепутал абсциссу с ординатой. Извиняюсь!

[--mS--]

мат-ламер в сообщении #321235 писал(а):

А! Перепутал абсциссу с ординатой. Извиняюсь!

А что ещё перепутали? Что "все углы равносильны"?

[мат-ламер]

Цитата:

Что "все углы равносильны"?

А то нет! Я имел в виду, что если вероятность того, что один из углов тупой, равна 1/4, то и вероятность того, что и второй, и третий из углов тупой равна 1/4. Остаётся ещё 1/4 на то что все углы острые. Если у кого другой ответ получился, то выкладывайте.

[ozhigin]

Давайте так!!!
$\Omega=${$\omega=(\alpha,\beta,\gamma) : \alpha+\beta+\gamma=2\pi$}$$

$mes(\Omega)= $ объем тетраэдра, у меня получилось $ = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} 4 \pi^2 sin 60)2\pi sin45=\frac{\pi \sqrt{6}}{12}$

а вот как выразить события?

[мат-ламер]

Цитата:

а вот как выразить события?

Рисуйте квадрат, где по ординатам отложены величины двух углов и заштрихуйте области, которые соответствуют рассматриваемым событиям. Затем находите их площади.

[ozhigin]

а геометрическая вероятность на плоскости получается? один угол отбросили?

[--mS--]

ozhigin в сообщении #321282 писал(а):

а геометрическая вероятность на плоскости получается? один угол отбросили?

Сколько в этой задаче независимо изменяющихся переменных, если одну точку закрепить в какой-то точке окружности?

-- Ср май 19, 2010 01:03:28 --

мат-ламер в сообщении #321265 писал(а):

А то нет! Я имел в виду, что если вероятность того, что один из углов тупой, равна 1/4, то и вероятность того, что и второй, и третий из углов тупой равна 1/4. Остаётся ещё 1/4 на то что все углы острые. Если у кого другой ответ получился, то выкладывайте.

Ловко