Число корней уравнения

[Yernar]

ЕГЭ, Серия "B". Укажите число корней уравнения.

1) $x^{\frac{1}{3}}=(x-200)^3$
2) $(x+200)^{\frac{1}{7}}=x^{200}$
3) $x^{\frac{1}{7}}+200=x^{200}$

Путем построения графиком находим ответы:
1) 1
2) 2
3) 1

А можно ли строго математически это обосновать?

[ewert]

Yernar в сообщении #321159 писал(а):

А можно ли строго математически это обосновать?

Можно. С помощью (интуитивно очевидных) соображений выпуклости-вогнутости. И это обосновывается вполне строго, и даже вполне легко, стоит лишь пару производных прикинуть и парочку теорем применить.

Но! в части В никакой строгости не требуется, т.е. не требуется никаких формальных обоснований, требуется лишь формальный ответ (а предполагается лишь общематематическая грамотность, позволяющая выдать грамотный результат исходя пусть даже и из соображений здравого смысла). Ну плюс ещё, конечно, визуальное знакомство с несколькими стандартными графиками стандартных функций. И умение их по мере необходимости сдвигать/растягивать. Это всё -- вполне разумно, и вполне в рамках программы.

[Did]

Интуиция и графическая интерпретация могут подвести. Глядя на эскизы графиков левой правой части уравнения $\((\frac{1}{16})^x=\log_\frac{1}{16}x$ может показаться, что уравнение имеет один корень. А на самом деле?

[gris]

Пример не показательный (в определённом смысле ). Обе функции убывают и выпуклы вниз. Там и три корня почудятся ( если немного увеличить основания степени и логарифма)