Квадратичная форма к канонич. виду и кривая второго порядка.

[timofei]

И в том и в другом задании вряд ли есть арифметические ошибки, правильно ли делал и как доделать эти задания?

Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием

$4x_1^2+4x_2^2+x_3^2-2x_1x_2+2\sqrt{3}x_2x_3$


Собственные значения очень странные получились

$$A=\left( \begin{array}{ccc} 4 & -2 & 0 \\ -2 & 4 & 2\sqrt 3 \\ 0 & 2\sqrt 3 & 1 \end{array} \right)$$

Найдем характерестический многочлен

$$\begin{vmatrix}4-\lambda & -2&0\\ -2&4-\lambda &2\sqrt 3\\ 0&2\sqrt 3&1-\lambda\\ \end{vmatrix}=(4-\lambda)\begin{vmatrix}4-\lambda & 2\sqrt 3\\2\sqrt 3 & 4-\lambda\\ \end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}-2 & 2\sqrt 3\\0 & 1-\lambda\\ \end{vmatrix}=(4-\lambda )[(4-\lambda)(1-\lambda )-(2\sqrt 3)(2\sqrt 3)]+2[-2(1-\lambda)]=$$

$$=(4-\lambda )(4-\lambda -4\lambda+\lambda^2-12)-4+4\lambda =(4-\lambda )(\lambda^2-5\lambda-8)-4+4\lambda=4\lambda^2-20\lambda-32-\lambda^3+5\lambda^2+8\lambda-4+4\lambda=-\lambda^3+9\lambda^2-8\lambda-36=0$$

Этот многочлен не имеет целых корней.
Что дальше можно сделать?

2) Исследовать кривую второго порядка и построить ее

Не понятно как выбрать $\alpha$

$$2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+1=0$$

Чтобы избавиться от слагаемого с произведением переменных, повернем систему координат против часовой стрелки на угол $\alpha$

$\[ \left\{ \begin{gathered} x=x'\cos \alpha - y'\sin \alpha \hfill \\ y=x'\cos \alpha + y'\sin \alpha \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$

$$2(x'\cos \alpha - y'\sin \alpha)^2+2(x'\cos \alpha + y'\sin \alpha)^2-2(x'\cos \alpha - y'\sin \alpha)(x'\cos \alpha + y'\sin \alpha)-2(x'\cos \alpha - y'\sin \alpha)-2(x'\cos \alpha + y'\sin \alpha)+1=0$$

$$4x'^2\cos^2 \alpha+4y'^2\sin^2 \alpha -2x'^2\cos^2 \alpha+2y'^2\sin^2 \alpha-4x'\cos \alpha + 1=0$$

$$2x'^2\cos^2 \alpha+6y'^2\sin^2 \alpha-4x'\cos \alpha + 1=2(x'\cos \alpha -1)^2+6y'^2\sin^2 \alpha -1=0$$

[ИСН]

В (2) поворотная матрица неправильная.

[Ales]

Разве не надо делить числа, стоящие не на главной диагонали, пополам?
Форма ведь должна принять вид: $(x,Ax)$.

[timofei]

Спасибо, ИСН!!!!!

А вот такая - правильная?

$\[ \left\{ \begin{gathered} x=\dfrac{1}{\sqrt 2}(x'\cos \alpha - y'\sin \alpha ) \hfill \\ y=\dfrac{1}{\sqrt 2}(x'\cos \alpha + y'\sin \alpha) \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$

-- Вт май 18, 2010 15:37:37 --

Ales в сообщении #321034 писал(а):

Разве не надо делить числа, стоящие не на главной диагонали, пополам?
Форма ведь должна принять вид: $(x,Ax)$.

Спасибо, Ales!

Насколько я понял, должно быть так


$\[ \left\{ \begin{gathered} x=x'\cos \alpha - \dfrac{1}{2}y'\sin \alpha \hfill \\ y=\dfrac{1}{2}x'\cos \alpha + y'\sin \alpha) \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$

Правильно ли?

[Ales]

timofei в сообщении #321035 писал(а):

Спасибо, Ales!

Насколько я понял, должно быть так

Нет, не верно поняли.
Замечание к первой задаче.

Во второй задаче видно, что уравнение сохраняется при перестановке переменных, значит у кривой есть ось симметрии
прямая $x=y$. Отсюда понятно, что поворот на 45 градусов.

-- Вт май 18, 2010 14:50:12 --

Ales в сообщении #321039 писал(а):

А вот такая - правильная?

Это не матрица поворота. Не надо ничего домножать.
Нарисуйте на плоскости: куда попадают вектора (1,0) и (0,1) при повороте на угол $\alpha$.
Отсюда сразу видна матрица.

У матрицы поворота строки и столбцы ортогональны.

[AKM]

Замечание Ales касалось первой задачи.
Я бы сказал, что пополам надо делить НЕдиагональные коэффициенты:

$$4x_1^2+2\cdot x_1x_2+\ldots =4x_1^2+1\cdot x_1x_2+1\cdot x_2x_1\ldots $$

-- Вт май 18, 2010 15:52:45 --
О, да, Xaositect, я присмотрелся --- у Ales так и написано. Sorry.


В определении формы значится

$$a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+{\color{blue}2}\,a_{12}x_1x_2+\ldots$$

[Xaositect]

AKM в сообщении #321040 писал(а):

Я бы сказал, что пополам надо делить НЕдиагональные коэффициенты:

У Ales так и написано :)

[ИСН]

В (2) поворотная матрица всё равно неправильная. Вдумайтесь: когда угол нулевой, она должна ничего не делать.

[timofei]

Точно, понял почему нужно делить пополам!!!

1)

$$\begin{vmatrix}4-\lambda & -1&0\\ -1&4-\lambda &\sqrt 3\\ 0&\sqrt 3&1-\lambda\\ \end{vmatrix}=(4-\lambda)\begin{vmatrix}4-\lambda & \sqrt 3\\\sqrt 3 & 4-\lambda\\ \end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}-1 & \sqrt 3\\0 & 1-\lambda\\ \end{vmatrix}=(4-\lambda )[(4-\lambda)(1-\lambda)-(\sqrt 3)(\sqrt 3)]+[-(1-\lambda)]=$$

$$ =(4-\lambda )(\lambda^2-5\lambda+1)+\lambda=4\lambda^2-20\lambda+4-\lambda^3+5\lambda^2-\lambda-1+\lambda=-\lambda^3+9\lambda^2-20\lambda+3=0$$

И тот многочлен не имеет целых корней.
((((

-- Вт май 18, 2010 16:15:22 --

Спасибо, да, точно ничего не должно меняться при повороте!!! Я спутал местами косинус и синус!

$\[ \left\{ \begin{gathered} x=x'\cos \alpha - y'\sin \alpha \hfill \\ y=x'\sin \alpha + y'\cos \alpha \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$

$\alpha = 45^{0}$


$\[ \left\{ \begin{gathered} x=\dfrac{1}{\sqrt 2}(x' - y') \hfill \\ y=\dfrac{1}{\sqrt 2}(x'+y') \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$

Так должно быть во втором?!!

-- Вт май 18, 2010 17:07:47 --

Во втором получилась окружность

$(x'-\sqrt 2)^2+y'^2=1$

[Ales]

timofei в сообщении #321053 писал(а):

Во втором получилась окружность

Должен быть эллипс. Вытянутая окружность.

-- Вт май 18, 2010 16:16:45 --

Первая задача не решается в целых числах.
Неужели Вам надо использовать формулу Кардано для кубического уравнения?
Странно. Может быть условие неверно записано?

[timofei]

Да, спасибо! Действительно эллипс, нашел ошибку!

$(x'-\sqrt 2)^2+3y'^2=1$

Условие точно правильно написано)