Несколько задач по теории вероятностей

[NeBotan]

День добрый.

Разбираюсь с очередной кр по теории вероятностей, и возникли непонимания некоторых условий. Так как всего около 10 задач, а я еще не все их хорошенько обдумал, то писать их буду по мере ступора.


Задача 1. Студент с одинаковой вероятностью выбирает любую из 20 книг на полке, вероятность выбора каждой книги равна p=0.05. Построить ряд и найти мат.ожидание числа взятых с полки книг.

Вопрос такой. Посчитать вероятность числа взятых книг надо по формуле Бернулли?
$P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$. Меня смутило то, что вероятность того, что студент возьмет 8 и более книг имеет порядок $10^{-8}-10^{-27}$. Хотя Excel сложив все значения выдал таки 1. значит вроде нормуль.

[ewert]

NeBotan в сообщении #320958 писал(а):

Меня смутило то, что вероятность того, что студент возьмет 8 и более книг имеет порядок $10^{-8}-10^{-27}$.

А вы не смущайтесь. Лучше прикиньте, сколько книжек он берёт в среднем. И какой по идее должна получиться вероятность взять много книжек.

[NeBotan]

понял. тогда буду прикидывать дальше. а потом задам еще пару вопросов по следующим задачкам.

[NeBotan]

самое вероятное число книг, которые возьмет студент получилось 1. что вполне логично. а в целом распределние получилось почти экспоненциально затухающее.

-- Вт май 18, 2010 14:45:11 --

С первой задаче разобрался, Все даже вроде красиво получилось: и дисперсия и мат. ожидание.

Теперь во второй задачи неуверенность.

Задача 2. С первого автомата на сборку попадает 80% деталей, со второго 20% деталей. Брак на первой автомате составляет 1%, на втором - 4%. Две проверенные детали оказались бракованными. найти вероятность того, что они обе изготовлены на 1ом автомате.

Я решал так: $P_1(A)=0.8*0.01$ - вероятность, что деталь бракованная и сделана на 1ом автомате
$P_1(A)=0.2*0.04$ - вероятность, что деталь бракованная и сделана на 2ом автомате

Вероятность, что 2 детали бракованные и сделаны на первом автомате равна
$P_1(2)=P_1(A)*P_1(A)=P_1^2(A)$

Вероятность, что 2 детали бракованные и сделаны на втором автомате равна
$P_2(2)=P_1(A)*P_1(A)=P_1^2(A)$

По формуле Байеса получается, что вероятность, что 2 детали будут с 1го автомата равна

$P=\frac{P_1(2)}{P_1(2)+P_2(2)}=1/2$

Правильно ли я все тут расписал? Мне что-то ответ совсем не нравится :( ПО-моему, я еще другие случаи не расписал, типа как выбрались небракованные детали и бракованные, но с разных автоматов. ЧТо подскажете?

[gris]

Вскользь замечу, что такие расчёты удобно проводить в EXCEL.
По второй задаче я бы принял 3 гипотезы: обе детали с 1 автомата, со 2, с разных. И нашёл полную вероятность того, что они обе бракованные. Ну а потом Байес. Или сразу.

[NeBotan]

Все расчеты стараюсь проводить в экселе, абсолютно с вами согласен, удобная штука.

По поводу гипотез, у меня получилось так:

$P_1(A)=0.8*0.01$ - вероятность, что обе детали бракованные и сделаны на 1ом заводе.

$P_2(A)=0.2*0.04$ - вероятность, что обе детали бракованные и сделаны на 2ом заводе.

$P_3(A)=0.8*0.01+0,2*0,04$ - вероятность, что обе детали бракованные и сделаны на разных заводах.


$P(B)=(1-0.8)*(1-0.01)+(1-0,2)*(1-0,04)$ - вероятность, что обе детали стандартные.
Сумма вероятностей дала 0,998. По идее искомая вероятность, которую требуется найти по условию задачи равна
$P=\frac{P_1(A)}{P_1(A)+P_2(A)+P_3(A)+P(B)}$

Так, или опять что-то пропустил?

[gris]

Я чего-то сегодня стараюсь не пропускать шаги
$P(A1)=0.8^2=0,64$ - вероятность, что обе детали сделаны на 1ом заводе.

$P(A2)=0.2^2=0.04$ - вероятность, что обе детали сделаны на 2ом заводе.

$P(A3)=0.8\cdot 0.2+0.2\cdot 0.8= 0.32$ - вероятность, что обе детали сделаны на разных заводах. Сумма вероятностей 1.

Вероятность, что обе детали сделаны на 1ом заводе и обе бракованные =
$P1(A1)=0.64\cdot 0.0001$
Вероятность, что обе детали сделаны на 2ом заводе и обе бракованные =
$P1(A2)=0.04\cdot 0.0016$
Вероятность, что обе детали сделаны на разных заводах и обе бракованные =
$P1(A3)=0.32\cdot 0.0004$

Полная вероятность, что обе детали бракованные равна сумме.
Или не так?

[NeBotan]

то бишь вероятность, что 2 детали бракованные и сделаны на 1ом автомате равна:

$P(A)=\frac{P1(A1)}{P1(A1)+P1(A2)+P1(A3)}$ - вот так? Если да, то спасибо Вам огромное, а я чет в конец нынче торможу.....