Потенциальность поля

[MTV]

Возник вопрос с объяснением мелких нюансов.
Возьмем поле, которое в любой односвязной области, не включающей точку $(0,0)$ потенциально, например $\left( -\frac{y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2}\right)$. Если рассматривать циркуляцию $\oint\limits_{l} \frac{x\,dy-y\,dx}{x^2+y^2}$ вектора по замкнутому контуру, не охватывающему точку $(0,0)$, то разумеется, интеграл равен нулю. Если рассматривать циркуляцию по контуру, охватывающему эту точку, например по единичной окружности с центром в начале координат, он будет равен $2\pi$ (ну, с направлением обхода против часовой). Т.к. область не односвязна, теорема о циркуляции неприменима, поэтому интеграл я вычислил просто в лоб.
Но тогда вопрос: допустим мы вычислили интеграл по верхней дуге вышеумомянутой единичной окружности, он равен $I$, а затем вычислили интеграл по нижней дуге, он равен $-I$. Но тогда из этого сразу следует, что интеграл по всему контуру равен 0, что, разумеется, полная чушь.
В какой части рассуждений у меня нарушена логика?

[ИСН]

...И днём и ночью кот учёный
Всё циркулирует кругом.
Идёт направо - плюс выводит,
Налево - минус, говорит...

[MTV]

Ну а всё таки?

[ИСН]

В какую сторону кот идёт Вы берёте интеграл по верхней дуге? А по нижней?

[MTV]

По обеим дугам - против часовой стрелки. Вы, вероятно, не поняли моего вопроса: в силу аддитивности интеграла мы можем эти 2 интеграла по дугам записать как один по всему контуру. Сумма тех двух интегралов равна нулю, а значит и интеграл по всему контуру равен нулю, чего не может быть.
Вопрос состоит в том, где я неправильно рассуждаю?

[ИСН]

Почему сумма тех двух интегралов равна нулю?

[MTV]

Если интеграл вычислять по честному, то сумма нулю равна не будет.
Но опираясь на теорему, т.к. поле потенциально, интеграл по верхней дуге равен разности первообразных. По той же теореме интеграл по нижней дуге тоже равен разности первообразных. И вроде бы сумма-то как раз должна равняться нулю. В чем подвох?

[ewert]

Вы или обходите ту особенность своим контуром, или не обходите. Т.е. она (особенность) или внутри контура, или снаружи. Если снаружи (т.е. не обходите) -- то ноль. Если внутри (т.е. обходите) -- всё, приплыли.

А первообразная в окрестности той особенности, да, попросту не определена. Вот именно из-за нехорошести результата по охватывающему контуру -- и не определена.