Дифференциальные уравнения

[Nogin Anton]

Пардон! Теперь верно?

$v=\frac{x^2}{2}+C$

$y=e^{-x^2}(\frac{x^2}{2}+C)$

[ewert]

Теперь да. Но нельзя ж быть настолько легкомысленным.

[Nogin Anton]

При раскрытии первого интеграла константа не нужна?

[ewert]

Не нужна. Не повредит (она сократится), но помешает. Дело в том, что на первом этапе нам надо найти хоть какую-то ненулевую функцию, сокращающую два слагаемых из четырёх. И вовсе нет необходимости искать общий вид этой функции.

[Nogin Anton]

Ещё такой:

$y'=2y+e^x-x$; $y(x)=\frac14$

$y'-1\cdot 2y=e^x-x$ - линейное

$y'=u'v+uv'$

$u'v+uv'-2uv=e^x-x$

$u'-2u=0$

$\frac{du}{dx}=2u$; $\int \frac{du}{u}=2\int dx$

$lnu=2x$; $u=e^{2x}$

$v=\int \frac{e^x-x}{e^{2x}}dx=\int \frac{e^x}{e^x\cdot e^x}dx-\int \frac{xdx}{e^{2x}}=-e^x-\frac12 lne^{2x}+lnC=lnC-e^x-x$

$y=e^{2x}(lnC-e^x-x)$ - общее решение

$\frac14 =lnC -1$; $lnC=\frac54$

$C=e^{\frac54}$

Частное решение:

$y=e^{2x}(\frac54-e^x-x)$

[ewert]

Аккуратнее с показателями экспоненты. И ещё аккуратнее с интегрированием по частям. А по совокупности для второго интегрирования -- просто какой-то бред.

[Nogin Anton]

До сюда верно?
$lnu=2x$; $u=e^{2x}$
Дальше переделаю по частям...