Дифференциальные уравнения

[Nogin Anton]

Здравствуйте!
$(y^2-3x)y'=-y$
Решил его сделать методом Бернулли, посмотрите пожалуйста:

$x'-\frac{3}{y}\cdot x=-y$ - линейное

$x'=u'v+uv'$

$u'v+uv'-\frac{3}{y}uv=-y$

$u'+\frac{3}{y}u=0$

$\frac{du}{dy}=-\frac{3u}{y}$

$\int \frac{du}{u}=-\int \frac{dy}{y}$

$lnu=-3lny$

$u=y^{-3}$; $u=\frac{1}{y^3}$

$\frac{1}{y^3}v'=-y$

$v'=-y^4$

$\int dv=-\int y^4 dy$

$v=-\frac{y^5}{5}$

$x=-\frac{y^2}{5}$

Большое спасибо!

[ewert]

Начиная с четвёртой строчки, перепутан знак. Но это -- техническая ошибка, а главное: где константа-то?!...

[Nogin Anton]

Начиная с четвёртой строчки переделал:

$u'-\frac{3}{y}uv=-y$

$u'-\frac{3}{y}u=0$

$\frac{du}{dy}=\frac{3u}{y}$

$\int \frac{du}{u}=3\int \frac{dy}{y}$

$lnu=3lny$

$u=y^3$

$y^3v'=-y$

$v'=-\frac{1}{y^2}$

$\int dv=-\int y^{-2}dy$

$v=\frac{1}{y}+C$

$x=y^3(\frac{1}{y}+C)$

Теперь верно?

[ewert]

Теперь да.

[Nogin Anton]

Вот в таком не разберусь с задачей Коши:

$(1+y^2)dx=xydy$; $y(1)=0$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}(\frac{1}{y}+y)$ - ДУ с разделяющимися переменными

$\int \frac{dx}{x}=\int \frac{dy}{y}+\int ydy$

$lnx=lnyC+\frac{y^2}{2}$ - общее решение

Задача Коши:

$0=ln0+0$

Не могу найти частное решение.

[ИСН]

Решите ещё раз. Там где-то что-то пошло вверх ногами.

[ewert]

Nogin Anton в сообщении #320140 писал(а):

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}(\frac{1}{y}+y)$ - ДУ с разделяющимися переменными

$\int \frac{dx}{x}=\int \frac{dy}{y}+\int ydy$

Неправильно разделили переменные.

[Nogin Anton]

Вроде так получается:

$int \frac{dx}{x}=\int \frac{ydy}{1+y^2}$

$lnx=\frac12 ln(y^2+1)+lnC$

$x=\sqrt{y^2+1}+lnC$ - общее решение

$C=1$

Частное решение:

$x=\sqrt{y^2+1}$

[ИСН]

Пересмотрите свои взгляды на логарифм (там, где ...+lnC).
Впрочем, на частное решение это не повлияет.
Да, и зачем оно в форме x(y)? Наоборот же как-то привычнее... а, хотя один чёрт.

[Nogin Anton]

Не совсем понял, где ошибка с логарифмом?

[ИСН]

В той строчке, где общее решение.

[Nogin Anton]

Понял, спасибо!

[AKM]

Ошибка с логарифмом: \ln C (имя функции есть команда, после неё пробел).
post317727.html#p317727

[Nogin Anton]

Вот такое ещё:

$y'+2xy=xe^{-x^2}$ - линейное

$y'=u'v+uv'$

$u'v+uv'+2xuv=xe^{-x^2}$

$u'+2xu=0$

$\frac{du}{dx}=-2xu$

$\int \frac{du}{u}=-2\int xdx$

$lnu=-x^2$

$e^{-x^2}v'=xe^{-x^2}$

$\frac{dv}{dx}=x$

$\int dv=\int xdx$

$v=\frac{x^2}{2}$

$y=e^{-x^2}\frac{x^2}{2}$ - общее решение

-- Вс май 16, 2010 21:52:30 --

AКМ, спасибо! Буду знать.

[ewert]

Какое ж оно общее, когда опять константы нет. Это уже становится неприличным.