Компелксные числа

[caxap]

Извините, если глупый вопрос, я только учусь. Меня вот интересует что. Есть комплексные числа и связанный с ним анализ (ТФКП). Комплексное число -- это просто пара чисел (x,y), т. е. можно отождествить с вектором. Спрашивается, зачем вводить какие-то комплексные числа, если есть векторы? И ещё, как может в такой строгой математике быть какие-то "мнимые" объекты, которые в квадрате дают $-1$ (я говорю о $\pm i$. Как-то меня ещё со кшолы это смущало, некая искусственность здесь есть. Чем эта $i$ лучше такого "мнимого" числа, которое, к примеру, при сложении с самим собой даёт нечётное число. Или токого, которого при умножении на ноль даёт единицу и т. д.

И вопрос номер два. Вообще где-нибудь применяется ТФКП, кроме как для расчёта синусоидальных электричсеких схем и как тема для написания учебника?

[Mitrius_Math]

Комплексные числа изначально вводятся для того, чтобы имело решение уравнение $x^2+1=0$, а предложенные Вами "мнимые единицы" не имеют никакого смысла. Почитайте "Курс высшей алгебры" А.Г. Куроша (с.110-115). Искусственность и мнимость возникают только при ознакомлении с комплексными числами, а потом они становятся "родными".

[AD]

caxap в сообщении #319690 писал(а):

Спрашивается, зачем вводить какие-то комплексные числа, если есть векторы?

Потому что их можно еще и перемножать. Векторы в общем случае перемножать нельзя, хотя некоторые можно - скажем, векторное произведение (только для трехмерных векторов!), ну еще скажем свёрточное умножение (для бесконечномерных векторов-функций) и пр., ну и вот произведение комплексных чисел (двумерных векторов). А еще комплексные числа можно делить - и это уже совсем большая удача (см. теоремы Фробениуса), за которую они и удостоены чести называться числами.

Но на самом деле не важно как их назвать. Главное - в печку не ставить.

caxap в сообщении #319690 писал(а):

И ещё, как может в такой строгой математике быть какие-то "мнимые" объекты

В строгой математике все объекты мнимые, если уж на то пошло. Но мнимые числа - они гораздо менее мнимые, чем Вам кажется, и как раз по той причине, которую Вы только что озвучили: комплексные числа - это всего лишь векторы (а в "реальности" геометрических векторов Вы вроде не сомневаетесь).

[Maslov]

caxap в сообщении #319690 писал(а):

И вопрос номер два. Вообще где-нибудь применяется ТФКП, кроме как для расчёта синусоидальных электричсеких схем и как тема для написания учебника?

Некоторые примеры приложений ТФКП можно посмотреть здесь:
Радыгин В.М., Голубева О.В. Применение функций комплексного переменного в задачах физики и техники
Или откройте любой учебник по квантовой механике.

[maikle]

комплексные числа, как мне говорили, также используются в "электрической" физике

[Mitrius_Math]

Сахар, если уж искать в математических объектах физический смысл, то скажите, пожалуйста, каков он, например, у числа $\sqrt[5]{2}$ или $\sqrt[2010]{2010}$. Вы же не сомневаетесь в "праве на жизнь" применительно к числам иррациональным?

[creative]

У меня был такой же вопрос в своё время.

Самое простое описание того зачем вообще нужны комплексные числа дано в книге Саймона Сингха "Великая теорема ферма" ("Fermat's last theorem" by Simon Singh). В предметном указателе найдёшь про комплексные числа.

[caxap]

AD в сообщении #319707 писал(а):

ну и вот произведение комплексных чисел (двумерных векторов)

А почему бы просто вкучу к скалярному, векторному и другим произведениями ввести ещё одно $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ (также как векторное пр. работает только в $\mathbb R^3$, данное будет работать только в $\mathbb R^2$)? Вот я начинаю изучать ТФКП, пролистываю учебники -- а там почти всё точь в точь как у векторов (напр. определение предела). Так зачем два раза объянять одно и то же? Хотя может у таких "комплексных" векторов есть какие-то особенные свойства, поэтому так их обособили..

Спасибо за книги. Сейчас пойду читать.

[Maslov]

caxap в сообщении #319739 писал(а):

А почему бы просто вкучу к скалярному, векторному и другим произведениями ввести ещё одно $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Так и ради бога, такой подход тоже есть.
Обсуждали даже: topic25406.html

[venco]

caxap в сообщении #319690 писал(а):

И ещё, как может в такой строгой математике быть какие-то "мнимые" объекты, которые в квадрате дают $-1$ (я говорю о $\pm i$. Как-то меня ещё со кшолы это смущало, некая искусственность здесь есть.

Если вспомнить историю их введения в математику (http://ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число#История) то они и появились как условность - исскуственная промежуточная сущность, нужная для нахождения реальных решений кубических уравнений. А потом оказалось, что комплексные числа удобны не только здесь.

caxap в сообщении #319690 писал(а):

Чем эта $i$ лучше такого "мнимого" числа, которое, к примеру, при сложении с самим собой даёт нечётное число.

Ничем не лучше, такое число тоже есть: $1\over 2$. А есть ещё число, квадрат которого равен двум: $\sqrt 2$. Всё это - расширения изначального класса натуральных чисел (или даже изначального множества: {один, два, много}).

caxap в сообщении #319690 писал(а):

Или токого, которого при умножении на ноль даёт единицу и т. д.

А вот такого нет.

[paha]

caxap в сообщении #319690 писал(а):

Вообще где-нибудь применяется ТФКП, кроме как

Все самолеты на уравнении Жуковского летают:)))


С другой стороны, конечно, любая умная (и глупая) хрень является последовательностью нулей и единиц...

[ewert]

caxap в сообщении #319690 писал(а):

И ещё, как может в такой строгой математике быть какие-то "мнимые" объекты, которые в квадрате дают $-1$ (я говорю о $\pm i$. Как-то меня ещё со кшолы это смущало, некая искусственность здесь есть.

А что такое целые числа? -- всего лишь расширение натуральных, позволяющее решать любые уравнения вида $a+x=b$.

Что такое рациональные? -- всего лишь расширение целых, позволяющее решать любые уравнения вида $a\cdot x=b$.

(ну вещественные в этой цепочке особняком стоят)

А что такое комплексные? -- всего лишь расширение вещественных, позволяющее решать любые квадратные уравнения.

Всё, что от них при этом требуется -- это корректность конструкции (т.е. выполнение всех арифметических аксиом). И, слава богу, оказывается, что с этим всё в порядке. А потом выясняется, что к тому же у них есть ещё и много других замечательных свойств.

Принципиальное отличие комплексных чисел от всех предыдущих (это и приводит к кажущейся неестественности) только в том, что они не упорядоченны (т.е. на них нет отношения порядка). Ну нет -- и ладно.

[creative]

ewert в сообщении #319959 писал(а):

А что такое комплексные? -- всего лишь расширение вещественных, позволяющее решать любые квадратные уравнения.

В дополнение к этому можно сказать, что когда открывали новые числа (целые, рациональные и т.д.), то их всегда умещали на одной оси, но с комплексными числами такое уже не проходило. И тут пришла поистине гениально решение - добавить новое измерение. В результате числа стали не только точками на одномерной оси, но и точками в двухмерном пространстве. Дальше больше - гиперкомплексные числа. Подобно тому, как комплексные числа могут быть рассмотрены как точки на плоскости, гиперкомплексные числа могут быть рассмотрены как точки в некотором многомерном Евклидовом пространстве.

[ewert]

creative в сообщении #319983 писал(а):

И тут пришла поистине гениально решение - добавить новое измерение.

Решение было вынужденным. Т.е. это было вовсе не решение, а осознание.

[caxap]

Я понял, что вы хотите сказать. Комплексные числа -- эта следующая "ступень" чисел, чтобы любое квадратное уравнение имело решение. Т. е. вслед за рациональными и иррациональными. Но меня интересует немного другое: все эти натуральные, целые, рац. и т. д. одним словом вещественные числа могут иметь физический реальный смысл как результат измерения физической величины. Если нарисовать точно квадрат со стороной 1, то длина его диагонали будет иррациональным числом, т. е. ограничится одними только рациональными нельзя. А вот комплекные числа -- уже действительно "искуственные", нет в природе комплексных величин. В физике нельзя извлечь корень из -1. Если в физической задаче мы приходим к такому -- значит мы где-то ошиблись.

А вот векторы имеют физическую сторону -- эта скаляр с направлением. Если ввести систему координат, то вектор можно отождествить с набором чисел.