Отсутствие предела для комплексной функции

[ИСН]

Правильным было бы разве что рисовать это по-дедовски, руками. Математические пакеты рассчитаны на "хорошие" функции, а на таких - ломаются.

[sasha_vertreter]

ИСН в сообщении #319912 писал(а):

Правильным было бы разве что рисовать это по-дедовски, руками. Математические пакеты рассчитаны на "хорошие" функции, а на таких - ломаются.

да, буду - просто боялся, что ошибусь много больше, чем MathCad.

а Вы не могли бы посмотреть - правильно ли я решил предыдущий предел (по определению)?

[ewert]

sasha_vertreter в сообщении #319591 писал(а):

Действительно: $| |z|-5|=| |z|-|3-4i| | \leqslant |z -(3-4i)|<\delta$. Следовательно $\delta = \varepsilon$.

Верно.

sasha_vertreter в сообщении #319591 писал(а):

(как я понимаю, $f(z)=|z|$ отображает $f:\mathbb C \to \mathbb R$, и, если я возьму круг радиусом 1 с центром в $z=3-4i$ - модули этих чисел будут принадлежать интервалу (4,6) ).

А это -- совсем ни к чему. Предыдущее неравенство -- это просто неравенство треугольника: $|z|=|(z-(3-4i))+(3-4i)|\leqslant|z-(3-4i)|+|3-4i|$ и аналогично $|3-4i|=|((3-4i)-z)+z|\leqslant|z-(3-4i)|+|z|$.

[sasha_vertreter]

спасибо!

ewert в сообщении #319954 писал(а):

sasha_vertreter в сообщении #319591 писал(а):

(как я понимаю, $f(z)=|z|$ отображает $f:\mathbb C \to \mathbb R$, и, если я возьму круг радиусом 1 с центром в $z=3-4i$ - модули этих чисел будут принадлежать интервалу (4,6) ).

А это -- совсем ни к чему. Предыдущее неравенство -- это просто неравенство треугольника: $|z|=|(z-(3-4i))+(3-4i)|\leqslant|z-(3-4i)|+|3-4i|$ и аналогично $|3-4i|=|((3-4i)-z)+z|\leqslant|z-(3-4i)|+|z|$.

я просто как-то "геометрически" хотел представить себе взаимосвязсь этих окрестностей (на $\mathbb R$ я их всегда как интервалы представлял).

И, если можно, самое последнее: я тут задумался над вопросом "к чему комплексная переменная".
Правильно я понимаю, что существование предела у комплексной функции значительно более сильное требование, чем для действительной функции 2-х переменных, поэтому предел $f(x+iy)=u(x,y)+i0$ при $z\to 0$, $z \in \mathbb C$ и просто двойной предел $\lim \limits_{x \to 0 \hfill \atop y \to 0} u(x,y)$ - не одно и то же, так как в первом случае должно обеспечиваться стремление по всем направлениям, а во втором только по 2-м?

(то есть, если я правильно вычислил конечно, $\lim \limits_{(x,y) \to (0,0)} u(x,y)=$\lim \limits_{x \to 0 \hfill \atop y \to 0} \dfrac{xy^2}{x^2+y^4} = $\lim \limits_{x \to 0 \hfill \atop y=x} \dfrac{xy^2}{x^2+y^4} =$\lim \limits_{y \to 0 \hfill \atop x=y} \dfrac{xy^2}{x^2+y^4} = 0 $, в то время как предел $f(z)$ при $z\to 0$ не существует, так как, "приближаясь по параболам", $f(z)$ принимает разные значения как, например, 0 или, как указано выше, $\dfrac{1}{2}$ .)

[ewert]

sasha_vertreter в сообщении #320044 писал(а):

Правильно я понимаю, что существование предела у комплексной функции значительно более сильное требование, чем для действительной функции 2-х переменных, поэтому предел $f(x+iy)=u(x,y)+i0$ при $z\to 0$, $z \in \mathbb C$ и просто двойной предел $\lim \limits_{x \to 0 \hfill \atop y \to 0} u(x,y)$ - не одно и то же, так как в первом случае должно обеспечиваться стремление по всем направлениям, а во втором только по 2-м?

Неправильно. Это ровно одно и то же -- в обоих случаях имеется в виду существование предела по всем направлениям. Здесь пока что никакой комплексной специфики нет, пока что комплексные числа, грубо говоря, вообще не при чём. Специфика возникает позже -- когда дело доходит до дифференцирования.

[sasha_vertreter]

ewert в сообщении #320056 писал(а):

Неправильно. Это ровно одно и то же -- в обоих случаях имеется в виду существование предела по всем направлениям. Здесь пока что никакой комплексной специфики нет, пока что комплексные числа, грубо говоря, вообще не при чём. Специфика возникает позже -- когда дело доходит до дифференцирования.

Да, понял. Значит двойной предел я вычислил/понял неправильно. Буду разбираться тогда с двойными пределами сначала.

Спасибо!

Вот здесь нашел topic19703-15.html очень понятно написано.