Арифметическая прогрессия

[e7e5]

Доказать, что если положительные числа $a,b, c$ ($a \le b \le c$) являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа
$\frac {1} {\sqrt{b} +\sqrt{c}}$ (1),
$\frac {1} {\sqrt c +\sqrt a}$ (2),
$\frac {1} {\sqrt a +\sqrt b}$ (3) также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Решил воспользоваться свойством прогрессии, а именно:
если числа $a,b, c$ будут $k$-м, $p$-м и $q$-м членами некоторой арифметической прогрессии, то верно соотношение
$(p-q)a+(q-k)b+(k-p)c=0$
Подставил 1-3, но что-то не сошлось...

[lel0lel]

Проще всего так:
$x_1=\frac {1} {\sqrt{b} +\sqrt{c}},\, x_2=\frac {1} {\sqrt c +\sqrt a},\, x_3=\frac {1} {\sqrt a +\sqrt b}\, \\ \left({1\over x_1}-{1\over x_2}\right){1\over x_3}=\frac{x_{2}-x_1}{x_{1}x_{2}x_{3}}=b-a=d,\, \\ \left({1\over x_2}-{1\over x_3}\right){1\over x_1}=\frac{x_{3}-x_2}{x_{1}x_{2}x_{3}}=c-b=d.$

[Cave]

Докажите, что $x,y,z$ являются членами одной арифм. прогрессии тогда и только тогда, когда $\frac {x - z} {y - z} \in\mathbb{Q}$. И воспользуйтесь этим.
---
Update: а, здесь речь про последовательные члены прогрессии. Тогда ещё проще. Это так, если $x - y = y - z$, где $y$~--- средний элемент. Проверьте это равенство.

[e7e5]

Спасибо, с первой задачей разобрался.

Доказать, что если $\{a_n\}$ - арифметическая прогрессия, то:

$\frac {1} {a_1 a_2} +\frac {1} {a_2 a_3} +\frac {1} {a_3 a_4}+...+\frac {1} {a_{n-1} a_n}=\frac {n-1} {a_1 a_n}$
Можно записать
$d= \frac {a_n -a_1} {n-1}$... задумался...

[Sasha2]

Так у Вас в этой последней задаче прогрессия геометрическая или арифметическая все же?

[lel0lel]

e7e5 в сообщении #316982 писал(а):

Доказать, что если $\{a_n\}$ - геометрическая прогрессия, то:

$\frac {1} {a_1 a_2} +\frac {1} {a_2 a_3} +\frac {1} {a_3 a_4}+...+\frac {1} {a_{n-1} a_n}=\frac {n-1} {a_1 a_n}$

Неверно. Возможно ошиблись с условием.

[e7e5]

да, $\{a_n\}$ - арифметическая прогрессия

[ИСН]

Тогда всё растёт из того, что ${1\over 2}-{1\over 3}={1\over 2\cdot 3}$.

[Sasha2]

Ну а если это так, то вот это должно помочь

$\frac{1}{a_pa_{p+1}}=\frac{1}{d}(\frac{1}{a_p}-\frac{1}{a_{p+1}})$

[e7e5]

Понял, спасибо
$\frac {1}{d}((\frac {1} {a_1}-\frac {1} {a2})+(\frac {1} {a_2} -\frac {1} {a_3})+...+(\frac {1} {a_{n-1}} -\frac {1} {a_n}))=\frac {1} {a_1} - \frac {1} {a_{n}}=\frac {a_n -a_1} {a_1 a_n}$
что и требовалось доказать.

Следующая задача:

$\frac {1} {\sqrt a_1 +\sqrt a_2} + \frac {1}{\sqrt a_2 +\sqrt a_3}+...+ \frac {1} {\sqrt a_{n-1} + \sqrt a_n}= \frac {n-1} {\sqrt a_1 + \sqrt {a_n}}$, $\{a_n\}$ - арифметическая прогрессия, $a_i>0$ при $i=1,2,..., n$

[lel0lel]

Попробуйте до разности квадратов в знаменателе домножать каждое слагаемое.

[e7e5]

Спасибо.
$\frac {1} {\sqrt a_1 +\sqrt a_2} + \frac {1}{\sqrt a_2 +\sqrt a_3}+...+ \frac {1} {\sqrt a_{n-1} + \sqrt a_n}= \frac {n-1} {\sqrt a_1 + \sqrt {a_n}}$,

$\frac {\sqrt a_2 -\sqrt a_1} {d} + \frac {\sqrt a_3 -\sqrt a_2} {d}+...+ \frac {\sqrt a_n -\sqrt a_{n-1}} {d}=\frac {\sqrt a_n -\sqrt a_1} {d}$, здесь $d=a_2-a_1=...=a_n -a_{n-1}$ - разность арифметической прогрессии

$\frac {\sqrt a_n -\sqrt a_1} {d}=\frac {\sqrt a_n -\sqrt a_1} {a_n -a_1} (n-1)=\frac {(n-1)} {\sqrt a_1 + \sqrt a_n}$
что требовалось доказать.

Еще задача:
Доказать, что

$\frac {n+1} {a_1 a_{2n+2}} < \frac {1} {a_1 a_2}+\frac {1} {a_3 a_4}+...+\frac {1} {a_{2n} a_{2n+1}} < \frac {n+1} {a_1 a_{2n+1}}$, где $\{a_n\}$ - возрастающая арифметическая прогрессия с положительными членами.

[e7e5]

e7e5 в сообщении #317446 писал(а):

Доказать, что

$\frac {n+1} {a_1 a_{2n+2}} < \frac {1} {a_1 a_2}+\frac {1} {a_3 a_4}+...+\frac {1} {a_{2n} a_{2n+1}} < \frac {n+1} {a_1 a_{2n+1}}$, где $\{a_n\}$ - возрастающая арифметическая прогрессия с положительными членами.

Есть ли идеи, как подступиться к доказательству?

[ewert]

А в сумме -- всё верно? Последнее слагаемое выглядит крайне подозрительно.

[AKM]

e7e5 в сообщении #319391 писал(а):

Есть ли идеи, как подступиться к доказательству?

Да.
Взять какое-нибудь маленькое $n$, 2 например, переписать формулу без многоточий, подставив в неё это $n$, внимательно посмотреть, попытаться доказать сей частный случай, и т.п.
Ну, это лично мой приём, может не общепринятый.

Вот применил, и через несуразность в условии не смог перейти.
"Ууф", — сказал я себе, — "хорошо, можно не думать и на рынок сходить".